23.1.2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值
知|识|目|标
1．通过探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，熟记30°，45°，60°角的三角函数值．
2．通过探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发现互余两角的正、余弦之间的关系，并能利用这个性质进行简单的计算．
目标一 会用特殊锐角的三角函数值进行计算
例1 [教材例4针对训练] 计算：sin30°＋2sin60°－tan45°－tan60°.
例2 高频考题在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB－|＋(2sinA－)2＝0，试判断△ABC的形状．
【归纳总结】巧记特殊锐角三角函数值：
(1)三角尺记忆法：借助如图23－1－10所示的三角尺记忆．
图23－1－10
(2)特点记忆法：30°，45°，60°角的正弦值记为，，；余弦值相反；正切值记为，，.
(3)口诀记忆法：1，2，3；3，2，1；3，9，27；弦比2，切比3，分子根号别忘添．
目标二 会用互余两个锐角之间的三角函数关系计算
例3 ［教材补充例题］已知α和β都是锐角，且α＋β＝90°，sinα＋cosβ＝，求锐角α.
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知识点一 30°，45°，60°角的三角函数值
特殊角的三角函数值：
角度α三角函数值三角函数
30°
45°
60°
sinα
______
______
______
cosα
______
______
______
tanα
______
______
______
知识点二 互余两角三角函数之间的关系
任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的______的余(正)弦值．即sinα＝cos(90°－α)或cosα＝sin(90°－α)．
任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数，即tanα·tan(90°－α)＝1.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2 ，求sin的值．
解：∵sinA＝＝＝，
∴sin＝×＝.
上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．
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教师详解详析
【目标突破】
例1 解：原式＝×＋2×－1－＝＋－1－＝－.
例2 [解析] 根据绝对值与数的平方的非负性确定tanB和sinA的值，然后再根据特殊锐角的三角函数值确定∠A，∠B的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠C的度数，即可判断出△ABC的形状．
解：∵|tanB－|≥0，(2sinA－)2≥0，
|tanB－|＋(2sinA－)2＝0，
∴tanB－＝0，2sinA－＝0，
则tanB＝，sinA＝.
又∵∠A，∠B均为锐角，
∴∠B＝60°，∠A＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
即△ABC是等边三角形．
例3 [解析] 根据任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值，可知sinα＝cosβ，根据sinα＋cosβ＝即可求出锐角α的度数．
解：∵α和β都是锐角，且α＋β＝90°，
∴sinα＝cosβ，
∴sinα＋cosβ＝2sinα＝，
∴sinα＝，∴α＝60°.
【总结反思】
[小结] 知识点一 从左往右，从上往下依次填： 1
知识点二 余角
[反思] 不正确，错在将∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦值的一半．实际上，∠A的一半的正弦值与∠A的正弦值的一半不相等，如：sin60°＝，sin30°＝，而不等于的一半．
正解：在Rt△ABC中，
因为sinA＝＝＝，
所以∠A＝60°，所以∠A＝30°，
所以sin＝.
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