23.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
知|识|目|标
通过对直角三角形六个元素的分析与探索，了解解直角三角形的定义，会解直角三角形．
目标 会解直角三角形
例1 ［教材例1针对训练］已知，如图23－2－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝5，∠A＝36°.按下列步骤，解这个直角三角形，边长精确到0.01.
图23－2－1
(1)根据直角三角形两个锐角互余，由∠A＝36°，得∠B＝90°－∠A＝________．
(2)根据正弦和余弦的定义，由sinA＝，得a＝______·________＝________×________≈________；由cosA＝，得b＝________·________＝________×________≈________．
综上所述，∠B＝________，a≈________，b≈________．
【归纳总结】解直角三角形常见类型：
在Rt△ABC中，∠C＝90°
已知
选择的边角关系
斜边和一
直角边
c，a
由sinA＝，求∠A；∠B＝90°－∠A，b＝
两直角边
a，b
由tanA＝，求∠A；∠B＝90°－∠A，c＝
斜边和
一锐角
c，∠A
∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA，b＝c·cosA
一直角边
和一锐角
a，∠A
∠B＝90°－∠A；b＝，c＝
例2 高频考题如图23－2－2，在△ABC中，AB＝10，AC＝14，∠B＝60°，求BC的长．
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图23－2－2
【归纳总结】对于一般三角形，根据已知条件求边或角的步骤：
(1)添加辅助线(作高)，构造直角三角形；
(2)利用解直角三角形的知识求解．
知识点一 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
知识点二 利用边角关系，求直角三角形的边或角
如图23－2－3，Rt△ABC 中的六个元素(三边长a，b，c，三个角∠A，∠B，∠C)之间的关系：
图23－2－3
(1)三边关系：a2＋b2＝c2；
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：
sinA＝，cosA＝，
tanA＝，sinB＝，
cosB＝，tanB＝．
在Rt△ABC中，∠A为锐角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，已知a＝6，c＝10，求sinA.
解：∵a＝6，c＝10，
∴sinA＝＝＝.
上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解题过程．
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教师详解详析
【目标突破】
例1 (1)54°
(2)c sinA 5 sin36° 2.94 c cosA 5 cos36° 4.05 54° 2.94 4.05
例2 [解析] 过点A作AD⊥BC于点D.因为BC＝CD＋BD，可先由∠B＝60°，AD⊥BC，AB＝10，求得BD＝5，AD＝5 .进而在△ADC中根据勾股定理求得CD＝11，即可求出BC的长．
解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，AB＝10，∠B＝60°.
∵cosB＝，
∴cos60°＝，
∴BD＝10×cos60°＝5，
∴AD＝＝5 .
∵在Rt△ADC中，AC＝14，
∴CD＝＝11，
∴BC＝BD＋CD＝16.
故BC的长为16.
【总结反思】
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[反思] 不正确，因为题目中没有明确说明哪个角是直角，也没有指出哪条边是斜边，因此应该进行分类讨论，以防漏解．
正解：(1)当∠C＝90°时，sinA＝＝＝.
(2)当∠B＝90°时，则b是斜边，
∵a＝6，c＝10，
∴b＝＝＝＝2，
∴sinA＝＝＝.
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