23.1 锐角的三角函数
1．锐角的三角函数
第1课时 正切
知|识|目|标
1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切、坡度的定义，并能求正切与坡度的值．
2．在理解坡度的定义的基础上，会运用坡度解决简单的问题．
目标一 会求锐角的正切值和物体的坡度
例1 ［教材例1针对训练］根据图形中的数据及正切与坡度的定义回答下列问题：
(1)如图23－1－1，在Rt△ABC中，tanA＝＝________，tanB＝＝________．
图23－1－1
(2)如图23－1－2，在Rt△DEF中，根据勾股定理，可知DF＝＝＝________，则tanD＝＝________，tanE＝＝________．
图23－1－2
(3)在图23－1－1和图23－1－2中，若将AB，DE看作坡面，则iAB＝tan________＝________，iDE＝tan________＝________．
【归纳总结】直角三角形中求锐角正切值的方法：
(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；
(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，则先利用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解．
目标二 会运用坡度解决简单的问题
例2 教材补充例题如图23－1－3，一个物体沿着坡度i＝1∶2的坡面AB向上前进了10 m到达点B，求此时物体距离地面的高度BC.
图23－1－3
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【归纳总结】解与坡度有关问题的方法：
首先应作辅助线构造直角三角形(一般是过坡面的上顶点作水平线的垂线)，如果铅直高度和水平长度有一边未知，通常先用勾股定理求出未知边，再利用坡度公式i＝tanα＝求解．
知识点一 锐角的正切
正切的定义：如图23－1－4，在Rt△ABC中，我们把锐角A的______与______的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝＝.
图23－1－4
[点拨] (1)tanA表示锐角A的正切，一般省略“∠”，当用三个字母表示角时，不能省略“∠”，如tan∠ABC.
(2)∠A的范围与tanA的范围：①0°＜∠A＜90°；②tanA＞0.
(3)tanA随着∠A的增大而增大，∠A越接近90°，tanA的值就增加得越快，tanA可以等于任何一个正数．
(4)正切值本质是两条线段的比值，只有数值，没有单位，其大小由锐角的度数决定，与其所在的直角三角形的大小无关．
知识点二 坡度(坡比)、坡角
坡面与________的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，图23－1－5中的角α就是坡面AB的坡角．
图23－1－5
坡面的____________和____________的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i.图中坡面AB中点B的铅直高度为h，水平长度为l，则i＝或i＝h∶l.
坡度(或坡比)是坡角的正切值，坡度(i＝tanα)越大，坡角α越大，坡面就越陡．
[点拨] (1)坡度等于坡角的正切值，所以坡角越大，坡度就越大，坡面就越陡．
(2)坡度一般写成1∶m的形式，比的前项是1，后项可以是小数或带根号的数．
(3)坡度不是坡倾斜的度数，而是指斜坡的铅直高度与水平长度的比．
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判断下列说法是否正确，若不正确，请说明理由．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在△ABC中，若BC＝2，AC＝4，则tanA＝.( )
(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝4，BC＝3，则tanA＝.( )
(3)若坡面的铅直高度为5，水平长度为6，则坡度i＝.( )
(4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，把Rt△ABC的各边都扩大为原来的3倍，则∠A的正切值也扩大为原来的3倍．( )
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教师详解详析
【目标突破】
例1 (1) (2)24
(3)A D
例2 解：根据题意可知△ABC是直角三角形，且＝.
设BC＝x m，则AC＝2x m，根据勾股定理，得x2＋(2x)2＝102，解得x＝2 (负值已舍去)．
故此时物体距离地面的高度为2 m.
【总结反思】
[小结] 知识点一 对边 邻边
知识点二 水平面 铅直高度h 水平长度l
[反思]
(1)×. 理由：△ABC不一定是直角三角形，所以不能按照定义求正切值．
(2)×. 理由：由AB，AC，BC的长可知△ABC是直角三角形，则tanA＝＝.
(3)×. 理由：坡度i＝铅直高度∶水平长度＝.
(4)×. 理由：设把Rt△ABC的各边都扩大为原来的3倍，得到Rt△A′B′C′，则Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴＝，∴tanA＝＝，故∠A的正切值不变．
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