23.2 第3课时 方向角问题
知|识|目|标
通过对实际问题的分析，了解方向角的定义，并能利用方向角的定义进行计算并解决实际问题．
目标 会运用解直角三角形解决方向角问题
例1 ［高频考题］［2017·成都改编］科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图23－2－8，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向．按照下列步骤，求出B，C两地之间的距离．
(1)构造直角三角形：过点B作BD⊥AC于点D，把问题转移到两个直角三角形之中，运用解直角三角形解决问题；(直接把图补充完整)
图23－2－8
(2)在Rt△ABD中，∠A＝________，AB＝________千米．根据正弦的定义，BD＝AB·________＝4×________＝________(千米)；
(3)在Rt△BCD中，∠CBD＝________，BD＝________千米．根据余弦的定义，BC＝＝________＝________(千米)．
例2 ［教材补充例题］如图23－2－9，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60 m到达点C，测得点B在点C的北偏东60°方向．
(1)求∠CBA的度数；
(2)求出这段河的宽度(结果精确到1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)．
图23－2－9
【归纳总结】运用方向角解决实际问题的注意要点：
(1)要注意方向角的含义，根据题意识图；
(2)注意几个方向角之间的转化关系；
(3)对于非直角三角形，一般通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形问题．
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知识点 解直角三角形——方向角问题
方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图23－2－10中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°.特别地，像目标方向线OD表示南偏西45°，通常称目标方向线OD为西南方向．同理还有东北方向、西北方向、东南方向．
图23－2－10
数学活动课上，王老师布置了一道思考题：一艘海轮位于灯塔的北偏东35°方向，那么此刻灯塔位于这艘海轮的什么位置？小明同学马上给出答案：灯塔位于这艘海轮的东偏北55°方向上．你认为小明同学的答案正确吗？若不正确，请写出正确答案．
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教师详解详析
【目标突破】
例1 解：(1)如图所示．
(2)60° 4 sinA sin60° 2
(3)45° 2 2
例2 解：(1)如图，过点B作BD⊥CA交其延长线于点D.由题意，得∠BAD＝45°，∠BCA＝30°，
∴∠CBA＝∠BAD－∠BCA＝15°.
(2)
设BD＝x m.
∵∠BCA＝30°，
∴CD＝＝x m.
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x m，则x－x＝60，
解得x＝≈82.
答：这段河的宽度约为82 m.
【总结反思】
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[反思] 小明同学的答案是错误的，如图所示，灯塔位于海轮的南偏西35°方向上．
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