23.1.2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值
一、选择题
1．［2017·天津］cos60°的值等于( )
A. B．1 C. D.
2．下列各数是无理数的是( )
A．tan60°·tan30° B．cos45°·sin45°
C．tan45°·sin45° D．cos60°·sin30°
3．如图32－K－1，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于( )
A. B. C. D.
图32－K－1
4．已知锐角α满足sin(α＋20°)＝1，则锐角α的度数为( )
A．10° B．25° C．40° D．45°
5．点M(－sin60°，－cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. B.
C. D.
6．在△ABC中，若∠A，∠B满足＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小是( )
A．45° B．60° C．75° D．105°
7．［2017·安庆期末］△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan2B－3|＋(2sinA－)2＝0，则△ABC是( )
A．直角(不等腰)三角形 B．等边三角形
C．等腰(不等边)三角形 D．等腰直角三角形
8．［2016·安徽淮北期末］菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图32－K－2所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为( )
A．(，1) B．(1，)
C．(＋1，1) D．(1，＋1)
图32－K－2
二、填空题
7
9．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝45°，则cosA＋cosB的值等于________.
10．某山路的路面坡度i＝1∶，那么此路面的坡角α是________度．
11．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C的度数是________．
12．若锐角α满足tan(α＋15°)＝1，则cosα＝________．
13．如图32－K－3，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则cos∠BAC＝________．
图32－K－3
14．如图32－K－4，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，延长AD到点E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO＝________．
图32－K－4
15．［2016·临沂］一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ；sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＝×＋×＝1.类似地，可以求得sin15°的值是________．
三、解答题
16．计算：(1)［2016·安徽］(－2016)0＋＋tan45°；
(2)cos60°－sin45°＋|－3tan30°|.
7
17．［2016·安庆16中月考］如图32－K－5，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝1.
(1)若BC＝，求△ABC三个内角的度数；
(2)若BC＝，求△ABC三个内角的度数．
图32－K－5
18．如图32－K－6所示，AD是△ABC的高，AC＝12，∠BAD＝30°，∠DAC＝45°，求AB的长．
图32－K－6
19．如图32－K－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AD平分∠BAC，AD＝，求∠B的度数及边BC，AB的长．
7
图32－K－7
20新定义类似在直角三角形中研究三角函数，我们新定义：等腰三角形中腰与底边的比叫做底角的邻对(can)，如图32－K－8①，在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝＝＝.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
(1)分别计算can30°，can45°和can60°的值；
(2)如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝.若△ABC的周长为50，求△ABC的面积．
图32－K－8
7
1．D
2．[解析] C tan60°·tan30°＝1，cos45°·sin45°＝，tan45°·sin45°＝，cos60°·sin30°＝.
3．[解析] C 由画图的过程可知△AOB是等边三角形，故sin∠AOB＝sin60°＝.
4．[解析] B ∵sin(α＋20°)＝1，
∴sin(α＋20°)＝，∴α＋20°＝45°，
∴α＝45°－20°＝25°.故选B.
5．[解析] C 关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数．
6．D
7．[解析] B 由绝对值和平方数的非负性可知：tan2B－3＝0，2sinA－＝0，解得tanB＝，sinA＝，∴∠A＝∠B＝60°，∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝60°，故△ABC是等边三角形．
8．C
9．[答案]
[解析] cosA＋cosB＝cos45°＋cos45°＝＋＝.
10．[答案] 30
[解析] 由题意得tanα＝i＝1∶＝，
故α＝30°.
11．[答案] 75°
[解析] ∵cosA＝，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－45°－60°＝75°.
12．[答案]
[解析] ∵tan(α＋15°)＝1，tan45°＝1，∴α＋15°＝45°，解得α＝30°，∴cosα＝cos30°＝.
13．[答案]
[解析] 连接BC，易判断△ABC为等腰直角三角形，故cos∠BAC＝cos45°＝.
14．答案]
[解析] 由题意可证△BOA≌△EOA，则∠AEO＝∠ABO＝30°，所以tan∠AEO＝.
15．[答案]
7
[解析] sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°·cos45°－cos60°·sin45°＝×－×＝.
16．解：(1)原式＝1－2＋1＝0.
(2)原式＝－×＋3×
＝－＋
＝.
17．解：(1)当BC＝时，∵AB＝AC＝1，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°.
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝，
∴cosB＝＝＝，
∴∠B＝30°，∠C＝30°，∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.
18．解：因为AD是高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ADC中，cos∠DAC＝，
所以AD＝AC·cos45°＝12×＝6 .
在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，
所以AB＝＝＝4 .
19．解：在Rt△ACD中，∵cos∠CAD＝＝＝，∠CAD为锐角，∴∠CAD＝30°，∠BAD＝∠CAD＝30°，即∠CAB＝60°，
∴∠B＝90°－∠CAB＝30°.
∵sinB＝，∴AB＝＝＝16.
又∵cosB＝，
∴BC＝AB·cosB＝16×＝8 .
20解：(1)如图，∠B＝∠C＝30°，AD是BC边上的高，设AB＝AC＝2，则BD＝CD＝2 .
7
根据邻对的定义，得can30°＝canB＝＝＝.
若∠B＝∠C＝45°，则△ABC是等腰直角三角形，则can45°＝canB＝＝.
若∠B＝∠C＝60°，则△ABC是等边三角形，则can60°＝canB＝1.
(2)过点A作AD⊥BC于点D.
设AB＝AC＝13x，则由邻对的定义，得BC＝AB＝24x，∴13x＋13x＋24x＝50，
解得x＝1，则AB＝AC＝13，BC＝24，BD＝CD＝12，∴AD＝＝＝5，
∴S△ABC＝BC·AD＝×24×5＝60.
7
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