23.2 第2课时 仰角、俯角问题
知|识|目|标
通过对实际问题的分析，了解仰角、俯角的定义，并能利用仰角、俯角的定义计算物体的高度．
目标 会运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
例1 ［教材补充例题］［2017·南通改编］热气球探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100 m．按照下列步骤，求这栋楼的高度(计算结果保留根号)．
图23－3－4
(1)由题意可知，在Rt△ABD中，∠BAD＝________，AD＝________m，则BD＝________m；
(2)在Rt△ACD中，∠CAD＝________．根据正切的定义，tan∠DAC＝，则CD＝AD·tan∠DAC＝________m，∴BC＝BD＋CD＝________m.
综上所述，这栋楼的高度为________m.
例2 ［高频考题］［2017·荆门金桥］学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高．如图23－2－5，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶的坡角为30°，且点E，F，D在同一直线上．求旗杆AB的高．(计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
图23－2－5
【归纳总结】视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和测量点到物体的水平距离，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
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知识点一 俯角和仰角的概念
在进行高度测量过程中，视线与水平线会形成一个夹角，当视线在水平线______时这个夹角叫做仰角； 当视线在水平线______时这个夹角叫做俯角.
如图23－2－6所示，∠1是仰角，∠2是俯角．
图23－2－6
[点拨] (1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．
知识点二 解直角三角形——俯角、仰角问题
利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题，通常借助视线、水平线、铅垂线构成的直角三角形进行解答．
如图23－2－7所示，直升机在大桥AB上方的点P处，此时飞机离地面的高度为a m，A，B，O三点在一条直线上且PO⊥AB于点O，测得点A的俯角为α，点B的俯角为β，求大桥AB的长度．
图23－2－7
解：在Rt△POA中，∵∠APO＝α，tan∠APO＝，∴OA＝OP·tanα.在Rt△POB中，∵∠BPO＝β，tan∠BPO＝，∴OB＝OP·tanβ，∴AB＝OA－OB＝OP(tanα－tanβ)＝a(tanα－tanβ)m.
上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．
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教师详解详析
【目标突破】
例1 (1)45° 100 100 (2)60° 100 100(1＋) 100(1＋)
例2 [解析] 设AM＝x.过点C作CM⊥AB于点M，则MC＝AM.在Rt△AEF中，用含x的式子表示EF.在Rt△CFD中，求出FD，从而根据ED＝MC列方程求出x，由此可求出AB的长．
解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则四边形CMED是矩形，且△AMC是等腰直角三角形．
设AM＝x，则ED＝MC＝AM＝x，AE＝AM＋ME＝AM＋CD＝x＋3.
在Rt△AEF中，EF＝＝.
在Rt△CFD中，FD＝＝3 .
∵ED＝MC，
∴＋3 ＝x.
解得x＝6 ＋6，
∴AB＝AM＋ME－BE＝6 ＋6＋3－1＝6 ＋8≈6×1.73＋8≈18.4(米)．
答：旗杆AB的高约为18.4米．
【总结反思】
[小结] 知识点一 上方 下方
[反思] 不正确．本题错在把从点P观测点A的俯角误认为是∠APO，从点P观测点B的俯角误认为是∠BPO，只有弄清俯角的定义才能避免这类错误．
正解：根据题意，得∠CPA＝α，∠BPC＝β，
∴∠PAO＝α，∠PBO＝β.
在Rt△POA中，∵tan∠PAO＝，
∴OA＝＝ m.
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在Rt△POB中，∵tan∠PBO＝，
∴OB＝＝ m，
∴AB＝OA－OB＝(－)m.
课堂反馈(三十三)
1．7tanα
2．1200 [解析] 由题意可知∠BAC＝60°，则BC＝AC·tan∠BAC＝1200×＝1200 (m)．
3．3(－1) [解析] 由题意可知，△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝AB＝3 m．在Rt△ACD中，AC＝AD·tan∠CDA＝3×tan60°＝3 (m)，∴BC＝AC－AB＝3 －3＝3(－1)m.
4．解：过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BE＝CD＝5 m，∴∠CBE＝60°.根据正切的定义，得CE＝BE·tan∠CBE＝5 m.
由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝5 m，∴AB＝AE＋BE＝5(＋1)m.故大树的高度为5(＋1)m
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