23.2 第3课时 方向角问题
一、选择题
1．如图36－K－1，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的路程AB是( )
A．2海里 B．2sin55°海里
C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
图36－K－1
2．［2016·合肥包河区期末］如图36－K－2，一只船沿正东方向航行，上午7时在灯塔A的正北方向C处，上午9时到达灯塔的北偏东60°的B处，已知船的航行速度为每小时20千米，那么A，B之间的距离是( )
A. 千米 B. 千米
C. 千米 D. 千米
图36－K－2
3．［2017·百色］如图36－K－3，在距离铁轨200 m的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10 s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这个时段动车的平均速度是( )
A．20(＋1)m/s B．20(－1)m/s
C．200 m/s D．300 m/s
图36－K－3
4．［2017·合肥市庐江县月考］如图36－K－4，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( )
A．30 海里 B．30 海里
C．60海里 D．30 海里
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图36－K－4
二、填空题
5．如图36－K－5，C，D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD＝ 6 km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB＝________km.
图36－K－5
6．如图36－K－6，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为________.
图36－K－6
三、解答题
7．［2017·宣城期末］如图36－K－7，A，B两城市相距80 km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以点P为圆心，50 km为半径的圆形区域内，则计划修建的这条高速公路会不会穿过保护区，为什么？(参考数据：≈1.732，≈1.414)
图36－K－7
8．［2017·芜湖期末］如图36－K－8，小岛A在港口B的北偏东50°方向，小岛C在港口B的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B出发向小岛A航行，经过5小时到达小岛A，这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向，求小岛A距离小岛C有多少海里．(结果精确到1海里．参考数据：≈1.41，≈1.73)
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图36－K－8
9．［2017·锦州］超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为．如图36－K－9，在一条笔直的高速公路MN上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC＝200米，B在A的北偏东75°方向，则这辆车超速了吗？通过计算说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)
图36－K－9
10阅读理解背景材料：近年来由于世界各国大力发展海洋经济、加强海洋能力开发，海洋争端也呈上升趋势．为增强海洋执法能力、维护海洋领土，近期我国多个部门联合进行护航、护渔演习．
解决问题：
(1)如图36－K－10，我国渔船(C)在某岛海域正被某国不明船只袭扰，“中国海政310”船(A)接到陆地指挥中心(B)护渔命令时，渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国海政310”船西南方向，“中国海政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB＝
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海里，“中国海政310”船最大航速为20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国海政310”船赶往渔船所在位置进行护渔至少需要多长时间；
(2)如果(1)中条件不变，此时位于“中国海政310”船(A)南偏东30°海域有一某国军舰(O)，AO＝560 海里，其火力打击范围是500海里，如果渔船沿着正南方向继续航行，是否会驶进这只军舰的打击范围？
图36－K－10
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1．C
2．[解析] D 由题意，得CB＝40千米，∠BAC＝60°，则AB＝＝(千米)．
3．[解析] A 过点B作BD⊥AC，垂足为D.在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴AD＝BD·tan∠ABD＝200 m；在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝200 m，则AC＝AD＋CD＝(200＋200 )m，这个时段动车的平均速度为＝20(＋1)m/s.
4．[解析] A 如图，过点P作PC⊥AB于点C.在Rt△PAC中，∵PA＝60海里，∠PAC＝30°，∴CP＝AP＝30海里．在Rt△PBC中，∵CP＝30海里，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝CP＝30 海里，即海轮所在的B处与灯塔P的距离为30 海里．
5．[答案] 3
[解析] 过点C作CE⊥BD于点E，可求出DE＝3 km，AB＝CE＝3 km.
6．[答案] 2 km
[解析] 如图所示，过点A作AD⊥OB于点D.
在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4 km，
∴AD＝OA＝2 km.
在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB－∠AOB＝75°－30°＝45°，
∴BD＝AD＝2 km，
∴AB＝AD＝2 km.
即该船航行的距离(即AB的长)为2 km.
故答案为2 km.
7．解：不会穿过保护区．理由：过点P作PM⊥AB于点M，如图．
由题意得AE∥PM∥BF，
∴∠APM＝30°，∠BPM＝45°，
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∴PM＝＝AM，BM＝PM.
设BM＝PM＝x km，则AM＝x km，x＋x＝80，
解得x＝120－40 ≈50.72＞50.
故这条高速公路不会穿过保护区．
8．解：由题意得，AB＝20×5＝100(海里)，∠ABC＝25°＋50°＝75°，∠BAC＝180°－70°－50°＝60°，则∠C＝45°.
如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D.
在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，则BD＝AB·sin60°＝100×＝50 (海里)，AD＝AB·cos60°＝100×＝50(海里)．
在Rt△BCD中，∠C＝45°，则CD＝BD＝50 海里，∴AC＝AD＋CD＝50＋50 ≈137(海里)．故小岛A距离小岛C约137海里．
9．[解析] 根据特殊锐角构造直角三角形，如图，利用特殊角的三角函数关系分段得出AB的长，进而求出汽车的速度，进而可判断这辆车是否超速．
解：这辆车超速了．理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
由题意易知∠ACB＝30°＋45°＝75°，∠CAB＝75°－30°＝45°，
∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝60°.
在Rt△BCD中，∵BC＝200米，∠ABC＝60°，∴BD＝BC·cos60°＝100米，CD＝BC·sin60°＝100 米．
在Rt△ACD中，∵∠CAB＝45°，
∴AD＝CD＝100 米，
∴AB＝AD＋BD＝(100 ＋100)米，
∴这辆车的速度为≈39(m/s)．
∵120 km/h≈33.3(m/s)＜39 m/s.
∴这辆车超速了．
10 [解析] (1)过点A作AD⊥BC于点D，通过AB＝海里，∠B＝60°
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求出AD的长；再通过AD的长，∠DAC＝45°，求出AC的长；根据路程和最大速度，求出“中国海政310”船赶往渔船所在位置至少需要的时间；(2)延长BC，过点O作OE⊥BC交BC的延长线于点E，过点A作AF⊥OE于点F.将点O到航线BC的距离分为两段EF，FO来求：一是证明EF＝AD，二是通过解直角三角形AOF，求出FO，再和杀伤半径500海里作比较，从而判断是否会驶进这只军舰的打击范围．
解：(1)如图所示，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝海里，∠B＝60°，∴sinB＝，
∴AD＝AB·sin60°＝·＝70 (海里)．
在Rt△ADC中，AD＝70 海里，∠ACD＝45°，
∴AC＝70 ×＝140(海里)，
∴“中国海政310”船赶往海船所在位置进行护渔至少需要140÷20＝7(时)．
(2)如图，延长BC，过点O作OE⊥BC交BC的延长线于点E，过点A作AF⊥OE于点F.
∵AD⊥BC，
∴四边形ADEF是矩形，
∴EF＝AD＝70 海里．
在Rt△AFO中，∵AO＝560 海里，∠OAF＝30°，
∴OF＝AO＝280 海里，
∴OE＝280 ＋70 ＝350 (海里)＜500海里，
∴如果渔船沿着正南方向继续航行，会驶进这只军舰的打击范围．
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