23.1.3. 一般锐角的三角函数值
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinB的值是( )
A. B. C. D.
2．若α是锐角，sinα＝cos50°，则α等于()
A．20° B．30° C．40° D．50°
3．已知cosA＞，则锐角A的取值范围是( )
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜90°
C．0°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
4．［2017·威海］为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道，如图33－K－1所示，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )
A.
B.
C.
D.
图33－K－1
5．三角函数sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是( )
A．cos43°＞cos16°＞sin30°
B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞ sin30°
D．cos43°＞sin30°＞cos16°
6．［2016·永州］下列式子错误的是( )
A．cos40°＝sin50° B．tan15°·tan75°＝1
C．sin225°＋cos225°＝1 D．sin60°＝2sin30°
二、填空题
7．已知α为锐角，sin(90°－α)＝，则cosα＝________．
8．已知sin42°54′＝0.6807，若cosα＝0.6807，则α＝________．
9．用“＞”或“＜”连接下面的式子：
(1)tan19°______tan21°；(2)cos18°______sin18°.
10．如图33－K－2，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．
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图33－K－2
11．观察下列等式：
①sin30°＝，cos60°＝；
②sin45°＝，cos45°＝；
③sin60°＝，cos30°＝.
根据上述规律，计算sin2α＋sin2(90°－α)＝________．
12．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＋sinB＝，则sinA－sinB＝________．
三、解答题
13．用计算器求下列各组三角函数值，并从中总结规律(精确到0.0001)：
(1)sin40°，cos50°；(2)sin23°37′，cos66°23′.
14．计算：－.
15．已知三角函数值，用计算器求锐角A(精确到1″)．
(1)sinA＝0.3035；
(2)cosA＝0.1078；
(3)tanA＝7.5031.
7
16．如图33－K－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，延长CA到点D，使AD＝AB，连接BD.
(1)求∠D的度数；
(2)求tanD；
(3)利用(2)的结果计算：tan22.5°×cos45°＋.
图33－K－3
17．已知：如图33－K－4，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.
求：(1)AB边上的高(精确到0.01)；
(2)∠B的度数(精确到1′)．
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图33－K－4
18规律探索(1)如图33－K－5①所示，已知AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，试比较sin∠B1AC，sin∠B2AC和sin∠B3AC的值的大小；
(2)如图②所示，在Rt△ACB3中，点B1和B2是线段B3C上的点(与点B3，C不重合)，试比较cos∠B1AC，cos∠B2AC和cos∠B3AC的值的大小；
(3)总结(1)(2)中的规律，根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
图33－K－5
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1．[解析] D ∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝.
2．[解析] C 由sinα＝cos(90°－α)，可知α＝90°－50°＝40°，应选C.
3．[解析] C ∵cos60°＝且锐角的余弦值随角度的增大而减小，∴当cosA＞时，0°＜∠A＜60°，故选C.
4．[解析] A sinA＝＝＝0.25，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为.
5．[解析] C 根据互余两角的三角函数之间的关系，可知sin30°＝ cos60°.因为余弦值随着锐角的增大而减小，所以cos16°＞cos43°＞cos60°，即cos16°＞cos43°＞sin30°.
6．[解析] D cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50°，选项A正确；
tan15°·tan75°＝tan15°·＝1，选项B正确；
sin225°＋cos225°＝1，选项C正确；
sin60°＝，sin30°＝，则sin60°≠2sin30°，选项D错误．
7．[答案]
[解析] ∵sin(90°－α)＝cosα，sin(90°－α)＝，∴cosα＝.
8．[答案] 47°6′
[解析] 根据互余两个锐角的正弦、余弦的关系可知α＋42°54′＝90°，∴α＝90°－42°54′＝47°6′.
9．[答案] (1)＜ (2)＞
[解析] (1)正切值随锐角的增大而增大，19°＜21°，所以tan19°＜tan21°，故应填“＜”．(2)由cos18°＝sin(90°－18°)＝sin72°，72°＞18°，得sin72°＞sin18°，即cos18°＞sin18°.
10．27.8°
11． [答案] 1
[解析] 由题意得sin230°＋sin2(90°－30°)＝1；sin245°＋sin2(90°－45°)＝1；sin260°＋sin2(90°－60°)＝1.可得sin2α＋sin2(90°－α)＝1.
12． [答案] ±
[解析] 因为∠A，∠B互余，所以cosA＝sinB，
所以sinA＋cosA＝.
又因为sin2A＋cos2A＝1，
所以2sinA·cosA＝，
所以(sinA－cosA)2＝sin2A＋cos2A－2sinA·cosA＝1－＝，
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即sinA－cosA＝±＝±＝±，
即sinA－sinB＝±.
13．解：(1)sin40°≈0.6428，cos50°≈0.6428.
(2)sin23°37′≈0.4006，cos66°23′≈0.4006.
规律：若锐角A，B满足∠A＋∠B＝90°，
则sinA＝cosB.
14．[解析] 计算时要注意根据互余两角三角函数之间的关系，有cos40°＝ sin50°.
解：原式＝－＝2－2 .
15．解：(1)锐角A≈17°40′5″.
(2)锐角A≈83°48′41″.
(3)锐角A≈82°24′30″.
16．解：(1)由题意知△ABC是等腰直角三角形，
所以∠CAB＝∠ABC＝45°.
又因为AD＝AB，且∠CAB＝∠D＋∠ABD＝45°，
所以∠D＝∠ABD＝22.5°.
(2)由BC＝AC＝a，
根据勾股定理，得AD＝AB＝a，CD＝AD＋AC＝(＋1)a.
在Rt△BCD中，tanD＝＝＝－1，即tanD＝－1.
(3)由(1)(2)知tan22.5°＝tanD＝－1，
原式＝tan22.5°×cos45°＋
＝(－1)×＋
＝1－＋－＋1
＝2－.
[点评] 解答本题的关键是利用直角三角形求一般锐角的三角函数值．
17．解：(1)作AB边上的高CH，垂足为H.
∵在Rt△ACH中，sinA＝，
∴CH＝AC·sinA＝9sin48°≈6.69.
(2)∵在Rt△ACH中，cosA＝，
∴AH＝AC·cosA＝9cos48°.
∴在Rt△BCH中，
tanB＝＝＝≈3.382，
∴∠B≈73°32′.
18解：(1)由图可知B1C1＞B2C2＞B3C3.
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∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，AB1＝AB2＝AB3，
∴＞＞，
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC.
(2)∵Rt△ACB3中，∠C＝90°，
∴cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，
cos∠B3AC＝，
∵AB3＞AB2＞AB1，
∴＞＞，
即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC.
(3)结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
由结论可知：
sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°.
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