23.2 第4课时 坡角、坡比问题
一、选择题
1．如图37－K－1，修建抽水站时，沿着坡度为i＝2∶3的斜坡铺设水管，若测得水管A处铅垂高度为6 m，则所铺设水管AC的长度为( )
A．10 m B. m
C．3 m D．11 m
图37－K－1
2．［2016·巴中］一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图37－K－2所示，则下列关系或说法正确的是( )
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米
D．AB＝米
图37－K－2
3．如图37－K－3，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B与点A有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC的高度为( )
A．5米 B．6米 C．8米 D．(3＋)米
图37－K－3
4．［2017·济南］如图37－K－4，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1 m处的点D离地面的高度DE＝0.6 m，又量得竿底与坝脚的距离AB＝3 m，则石坝的坡度为 ( )
A. B．3 C. D．4
图37－K－4
7
二、填空题
5．［2017·宁波］如图37－K－5，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度约下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)
图37－K－5
6．活动楼梯如图37－K－6所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度为1∶1，斜坡AC的坡面长度为8 m，则走这个活动楼梯从点A到点C上升的高度BC为________m.
图37－K－6
7．［2017·德阳］如图37－K－7所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6 米，背水坡CD的坡度i＝1∶(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米．
图37－K－7
三、解答题
8．如图37－K－8，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的．测得坡长AB＝600米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.求山峰的高度．(结果保留根号)
图37－K－8
7
9．［2016·荆门］如图37－K－9，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋)米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？
图37－K－9
10．［2017·淮北期末］为缓解“停车难”的问题，某单位拟造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图如图37－K－10所示．已知该坡道的水平距离AB的长为9 m，坡面AD与AB的夹角∠BAD＝18°，石柱BC＝0.5 m，按规定，地下停车库坡道上方BC处要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入．请你帮设计师计算一下CE的高度，以便张贴限高标志．(结果精确到0.1 m，参考数值：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)
图37－K－10
11．［2017·海南］为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是水坝加高2 m(即CD＝2 m)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图37－K－11所示，已知AE＝4 m，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)
7
图37－K－11
12［建模思想］［2016·济宁］某地的一座人行天桥示意图如图37－K－12所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
图37－K－12
7
1．[解析] C BC＝＝9 m，AC＝＝＝3 (m)．
2．[解析] B 斜坡AB的坡度是tan10°＝，故B项正确．
3．[解析] A 设CD＝x米，则AD＝2x米．
由勾股定理可得AC＝＝x(米)，
∵AC＝3 米，
∴x＝3 ，∴x＝3，
∴CD＝3米，AD＝2×3＝6(米)．
在Rt△ABD中，BD＝＝8(米)，
∴BC＝8－3＝5(米)．
故选A.
4．[解析] B 如图，过点C作CF⊥AB于点F，则DE∥CF，∴＝，即＝，解得CF＝3 m．在Rt△ACF中，AF＝＝4(m)，则BF＝4－3＝1(m)，∴石坝的坡度为＝＝3.
5．[答案] 280
[解析] 在Rt△ABC中，AC＝AB·sin34°≈500×0.56＝280(米)，∴这名滑雪运动员的高度约下降了280米．
6．[答案] 4
[解析] 根据题意可知∠A＝45°，∴BC＝sinA·AC＝×8＝4 (m)．
7．[答案] 12
[解析] 根据题意可知AE＝6 ×sin45°＝6(米)．又∵背水坡CD的坡度i＝1∶(i为DF与FC的比值)，∴tanC＝＝，∴∠C＝30°，则CD＝2DF＝2AE＝12米．
8．解：如图所示，过点B作BG⊥AF于点G，则BG＝EF，BE＝GF.
∵AB＝600米，∠BAF＝30°，
∴EF＝BG＝AB＝300米．
在Rt△BCE中，∵BC＝200米，∠CBE＝45°，
∴CE＝BC·sin∠CBE＝200×＝100 (米)，
7
∴CF＝CE＋EF＝(300＋100 )米，
∴山峰的高度是(300＋100 )米．
9．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
设AD＝x米，小明的行走速度是a米/秒．
∵∠A＝45°，CD⊥AB，
∴AD＝CD＝x米，
∴AC＝x米．
在Rt△BCD中，
∵∠B＝30°，∴BC＝＝＝2x(米)．
∵小军的行走速度为米/秒，且小明与小军同时到达山顶C处，
∴＝，解得a＝1.
答：小明的行走速度是1米/秒．
10．解：∵∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，
∴∠ADB＝72°.
在Rt△ABD中，BD＝AB·tan∠BAD≈9×0.32＝2.88(m)，
∴CD＝BD－BC＝2.38 m.
在Rt△CDE中，CE＝CD·sin∠ADB≈2.3 m.
答：CE的高度约为2.3 m.
11．[解析] 根据∠BAC的正切值，用含BC的代数式表示出AB的长，再由DE的坡度可知BD＝BE，由此列方程即可求出BC的长．
解：设BC＝x m.
在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，
∴AB＝≈＝＝x(m)．
在Rt△BDE中，∵iDE＝DB∶EB＝1∶1，
∴DB＝EB，
∴CD＋BC＝AE＋AB，即2＋x≈4＋x，
解得x≈12，故BC≈12.
答：水坝原来的高度约为12 m.
12解：(1)∵新坡面的坡度为1∶，
∴tanα＝tan∠CAB＝＝，
∴α＝30°.
7
答：新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要拆除．理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6米．
∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶，
∴BD＝CD＝6米，AD＝6 米，
∴AB＝AD－BD＝(6 －6)米＜8米，
∴文化墙PM不需要拆除．
7
微信/支付宝扫码支付