9.4 矩形、菱形、正方形
一．选择题（共 5 小题）
1．如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，CD 上的点，AE=CF，连接 EF，BF，EF 与对角
线 AC 交于点 O，且 BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则 AB 的长为（ ）
（第 1 题图）
A．8 B．8 C．4 D．6
2．矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，下列结论不成立的是（ ）
A．AC=BD B．OA=OB C．OC=CD D．∠BCD=90°
3．如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE=BD，连接 AE，如果∠ADB=38°，则∠E 的值
是（ ）
（第 3 题图）
A．19° B．18° C．20° D．21°
4．如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接
DE，则△ADE 的周长为（ ）
（第 4 题图）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，斜边 AB=12，D 为 AB 的中点，F 为 CD 上一点，CF=
CD，过点 B 作 BE∥DC 交 AF 的延长线于点 E，则 BE 的长为（ ）（第 5 题图）
A．12 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共 13 小题）
6．如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=2．点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上，点 G，H 在对角
线 AC 上．若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是 ．
（第 6 题图）
7．已知如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD，垂足为 E，∠ADB=30°且 BC=4，则△ECD 的面积为 ．
（第 7 题图）
8．如图，在长方形 ABCD 中，AF⊥BD，垂足为 E，AF 交 BC 于点 F，连接 DF．图中有全等三
角形 对，有面积相等但不全等的三角形 对．
（第 8 题图）
9．如图，在矩形 ABCD 中，AB：BC=3：5．以点 B 为圆心，BC 长为半径作圆弧，与边 AD 交
于点 E，则 的值为 ．（第 9 题图）
10．如图，在△ABC 中，BC=9，AD 是 BC 边上的高，M、N 分别是 AB、AC 边的中点，DM=5，
DN=3，则△ABC 的周长是 ．
（第 10 题图）
三．解答题（共 16 小题）
11．已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，点 E、F 分别是线段 AB、CD 的中点．求证：
EF⊥CD．
（第 11 题图）
12．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 为边 BC 上一点，以 AB，BD 为邻边作▱ABDE，连接 AD、
EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若 BD=CD，求证：四边形 ADCE 是矩形． （第 12 题图）
13．如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC，且与 AD 边交于点 E，∠AEB=45°，证明：四边形 ABCD
是矩形．
（第 13 题图）
14．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线 AC，BD 交于点 O，DE 平
分∠ADC 交 BC 于点 E，连接 OE．
（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；
（2）若 AB=2，求△OEC 的面积．
（第 14 题图）
15．如图，▱ABCD 中，AC=12cm，BD=16cm，在对角线 BD 上，E，F 两点分别从 B，D 点往终点D，B 运动，它们的速度都是每秒 1cm/s，且同时出发，同时停止，若它们运动时间为
t．
（1）当 t≠8 时，判断四边形 AECF 的形状，并说明你的结论．
（2）当运动时间 t 为多少时，四边形 AECF 为矩形？
（第 15 题图）参考答案
一．1．D 2．C 3．A 4．B 5．D
二．6．2 7．25 8．1；4 9．4 10．25
三．11．证明：连接 DE、CE.
∵△ABC 中，∠ACB=90°，E 是 AB 中点，
∴CE= AB.
同理可得，DE= AB，
∴DE=CE．
∵△CDE 中，F 是 CD 中点，
∴EF⊥CD．
（第 11 题答图）
12．证明：（1）∵四边形 ABDE 是平行四边形（已知），
∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）；
∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）；
又∵AB=AC（已知），
∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角），
∴∠EDC=∠ACD（等量代换）；
∵在△ADC 和△ECD 中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四边形 ABDE 是平行四边形（已知），
∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等），
∴AE∥CD；又∵BD=CD，
∴AE=CD（等量代换），
∴四边形 ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
在△ABC 中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），
∴∠ADC=90°，
∴▱ADCE 是矩形．
13．证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC
∵BE 平分∠ABC，∠AEB=45°
∴∠ABE=∠EBC=45°
∴∠ABC=90°
∴四边形 ABCD 是矩形
14．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形．
（2）作 OF⊥BC 于点 F．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF= CD=1，
∵DE 平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
在 Rt△EDC 中，EC=CD=2，∴△OEC 的面积= •EC•OF=1．
（第 14 题答图）
15．解：（1）四边形 AECF 是平行四边形.
（第 15 题答图）
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO，BO=EO.
∵BE=DF=t，
∴EO=FO，AO=CO，
∴四边形 AECF 是平行四边形.
（2）若四边形 AECF 是矩形，
∴AC=EF，
∴12=16﹣2t，
解得 t=2.
当 t=2 时，四边形 AECF 为矩形．
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