8.4 三元一次方程组的解法
一、选择题
1. 已知方程组{3x + 5y = k + 2
2x + 3y = k ，x 与 y 的值之和等于 2，则 k 的值为( )
A. 4 B. -4 C. 3 D. -3
2. 有甲，乙，丙三种商品，如果购甲 3 件，乙 2 件，丙 1 件共需 315 元钱，购甲 1 件，
乙 2 件，丙 3 件共需 285 元钱，那么购甲，乙，丙三种商品各一件共需( )
A. 50 B. 100 C. 150 D. 200
3. 三元一次方程组{x + y = 1
y + z = 5
z + x = 6
的解是( )
A. {x = 1
y = 0
z = 5
B. {x = 1
y = 2
z = 4
C. {x = 1
y = 0
z = 4
D. {x = 4
y = 1
z = 0
4. 若(2x - 4)2 +(x + y)2 +|4z - y| = 0，则x + y + z等于( )
A. - 1
2 B. 1
2 C. 2 D. -2
5. 已知方程组{3x - y = 5
2x + y - z = 0
4ax + 5by - z = -22
与方程组{ax - by + z = 8
x + y + 5z = c
2x + 3y = -4
有相同的解，则 a、b、c
的值为( )
A. {a = -2
b = -3
c = 1
B. {a = -2
b = 3
c = 1
C. {a = 2
b = -3
c = -1
D. {a = 2
b = 3
c = -1
6. 设x
2 = y
3 = z
4，则x - 2y + 3z
x + y + z 的值为( )
A. 2
7 B. 6
9 C. 8
9 D. 5
7
7. 已知{a - 2b + 3c = 0
2a - 3b + 4c = 0，则 a：b：c 等于( )A. 3：2：1 B. 1：3：1 C. 1：2：3 D. 1：2：1
8. 桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水.先将甲杯的水全部倒入丙杯，
此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的 2 倍多 40 毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此
时丙杯的水量为原本乙杯内水量的 3 倍少 180 毫升.若过程中水没有溢出，则原本甲、
乙两杯内的水量相差多少毫升？( )
A. 80 B. 110 C. 140 D. 220
9. 三个二元一次方程2x + 5y - 6 = 0，3x - 2y - 9 = 0，y = kx - 9有公共解的条件
是k = ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10. 如图，在正方形 ABCD 的每个顶点上写一个数，把这个正方形每
条边的两端点上的数加起来，将和写在这条边上，已知 AB 上的
数是 3，BC 上的数是 7，CD 上的数是 12，则 AD 上的数是( )
A. 2 B. 7 C. 8 D. 15
二、填空题
11. 三元一次方程组{x + y = 5
y + z = 9
z + x = 8
的解是______ ．
12. 已知关于 x，y 的方程组{x + y = 5m
x - y = 9m的解满足2x - 3y = 9，则m = ______ ．
13. 在等式y = ax2 +bx + c中，当x = -1时，y = 0；当x = 5时，y = 60；当x = 2时，
y = 3.则a + b + c = ______ ．
14. 若4x - 3y - 6z = x + 2y - 7z = 0(xyz ≠ 0)，则代数式2x2 - 3y2 - 10z2
5x2 + 2y2 - z2 的值等于
______ ．
15. 已知 x、y、z 是三个非负实数，满足3x + 2y + z = 5，x + y - z = 2，若
S = 2x + y - z，则 S 的最大值与最小值的和为__________．
三、计算题
16. 在等式y = ax2 +bx + c中，当x = -2时，y = -1；x = 0时，y = 2；x = 2时，y = 0.
求 a、b、c 的值．17. 已知方程组{ 7x + 3y = 4
5x - 2y = m - 1的解能使等式4x - 3y = 7成立．
(1)求原方程组的解；
(2)求代数式m2 -2m + 1的值．
18. 水果市场将 120 吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载
能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费 8200 元，问分别需甲、乙两种车型
各几辆？
(2)为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少 1 辆)，
已知它们的总辆数为 16 辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？参考答案
1. A 2. C 3. A 4. A 5. D 6. C 7. D
8. B 9. B 10. C
11. {x = 2
y = 3
z = 6
12. 9
20 13. -27 14. - 1
13 15. 5
16. 解：把x = -2时，y = -1；x = 0时，y = 2；x = 2时，y = 0代入等式y = ax2
+bx + c得，
{4a - 2b + c = -1
c = 2
4a + 2b + c = 0
，解得{a = - 5
8
b = 1
4
c = 2
．
答：a、b、c 的值分别为 - 5
8，1
4，2．
17. 解：(1)根据题意得，{ 7x + 3y = 4 ①
4x - 3y = 7 ②，
① + ②，得11x = 11，解得x = 1，
把x = 1代入①得，y = -1，
∴ 原方程组的解为{ x = 1
y = -1；
(2)将x = 1，y = -1代入5x - 2y = m - 1，得m = 8，
将m = 8代入m2 -2m + 1 = 82 -2 × 8 + 1 = 49．
∴ 代数式m2 -2m + 1的值为 49．
18. 解析：(1)设需甲车型 x 辆，乙车型 y 辆，得：
{ 5x + 8y = 120
400x + 500y = 8200，
解得{ x = 8
y = 10．
答：需甲车型 8 辆，乙车型 10 辆；
(2)设需甲车型 x 辆，乙车型 y 辆，丙车型 z 辆，得：
{ x + y + z = 16
5x + 8y + 10z = 120，
消去 z 得5x + 2y = 40，x = 8 - 2
5y，因 x，y 是正整数，且不大于 16，得y = 5，10，
由 z 是正整数，解得{x = 6
y = 5
z = 5
，{x = 4
y = 10
z = 2
，
有二种运送方案：
①甲车型 6 辆，乙车型 5 辆，丙车型 5 辆；
②甲车型 4 辆，乙车型 10 辆，丙车型 2 辆．
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