12.2 二次根式的乘除（1）
教学目标：1.理解 · ＝ （a≥0，b≥0）， ＝ · （a≥0，b≥0），
并利用它们进行计算和化简；
2.经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则；
3.在具体的计算过程中讨论交流，总结公式，体会“数学知识来源于实践”的理念．
教学重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质．
教学难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质的理解与运用．
教学过程：
一、情境创设
同学们，上节课我们了解了二次根式的概念，掌握了二次根式的性质，并能运用这些性
质进行一些简单的计算，那么对于二次根式更为复杂的运算我们还能解决吗？数学来源于生
活，下面我们就一起走进数学实验室，看看生活中的数学给我们带来了怎样新的问题？
二、数学实验室（1）在图中，小正方形的边长为 1，AB＝ ，BC＝ ，画出矩形 ABCD
的面积是多少？
（2）在图中，小正方形的边长为 1．画出矩形 EFGH，使 EF＝ ，FG＝ ．矩形 EFGH
的面积是多少？
三、探索活动
活动一：
计算：（1） × ＝ ， ＝ ；
（2） × ＝ ， ＝ ；
（3） × ＝ ， ＝ ．
你有什么发现？请与同学交流．
a b ab ab a b
2 8
2 18
4 25 4 25×
16 9 16 9×
2)3
2( 2)5
3( 22 )5
3()3
2( ×活动二：
验证公式： · ＝ （a≥0，b≥0）的正确性．
计算：（1） × ； （2） × ； （3） · （a≥0）．
活动三：
了解了二次根式的乘法公式，请同学们逆向思考，你又有什么新发现呢？
例 1、化简：
（1） ； （2） （a≥0）； （3） （a≥0，b≥0）．
知识拓展，能力提高．
观察： · ＝ （a≥0，b≥0）.
思考： × × ？
例 2、 计算：
（1） · · ； （2） × × ．
四、小结
我们的收获：一路走来，我们结识了很多新知识，你能谈谈自己的收获吗？说一说让大家一
起来分享．
a b ab
8 2 2
1 8 a2 a8
12 3a 324 ba
a b ab
a b =c
xy yx3 2xy 18 24 2712.2 二次根式的乘除（2）
教学目标：1．进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算；
2．能熟练地进行二次根式的化简及变形；
3．在讨论、交流、总结方法的过程中，让学生学会尊重和理解他人的见解，敢于发表自己
的观点．
教学重点：熟练地进行二次根式的乘法运算．
教学难点：熟练地进行二次根式的化简及变形．
教学过程：
一、情景创设
同学们，上节课我们学习了二次根式的乘法，你能用式子表示出乘法运算的法则吗？
运用这个法则可以进行乘法运算，还可以对结果进行化简，请同学们完成知识回顾中的三小
题．
· ＝ ； ＝ ； ＝ （x≥0，y≥0)．
问题 1：:如何对二次根式进行化简？
问题 2：本组题中化简结果有何要求？
二、探索活动：
活动一：
刚才的问题说明同学上节课的知识掌握的很好，复杂一点的化简你能解决吗？
例 1、化简．（1） （ ≥0，b≥0）；
（2） （ ≥0，b≥0）； （3） （ ≥0，b≥0）．
问题：用刚才的方法尝试解决以下问题．
化简：（1） （x≥0，x－y≥0）；（2） （x≥0，y≥0）．
活动二：
例 2、 计算：（1） × ； （2） × ；
（3） · （ ≥0，b≥0）； （4） × ．
活动三
例 3、计算：
3 27 200 34x y
2 2( )a b c＋ a
2 ( )a b c＋ a 2 2a b a c＋ a
3 2x x y－ 3 2 22x x y xy＋ ＋
6 15 1
2
24
3a ab a 3 2 2 10（1）（－ )×（－ )； （2） × × ．
二次根式乘法法则推广： × × （ ≥0，b≥0，c≥0）．
活动四：
例 4、如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm，求 AC．
三、课堂小结
本节课我们继续学习二次根式的乘法法则和二次根式的化简，我们是如何进行化简的？你还
有哪些困惑？
3 2 2 10 3
4
12 3 56
a b =c abc a
A
B C12.2 二次根式的乘除（3）
教学目标：1．能运用除法法则 ＝ （a≥0，b＞0），进行二次根式的除法运算；
2．能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的二次根式进行化简；
3．在解问题的过程中培养学生探究意识、合作意识．
教学重点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的应用．
教学难点：商的算术平方根的性质的理解与运用．
教学过程：
一、情境创设：
（1） ， ＝ ；
（2） ， ＝ ；
（3） ， ＝ ；
（4） ， ＝ ．
比较上述各式，你猜想到什么结论？
二、探索活动
活动一： 运用二次根式的除法运算法则进行计算．
计算：
（1） （2） （3） ÷ （4） ÷
学生练习：（1） ＝ ；（2） ＝ ；
b
a
b
a
4
25
＝ 4
25
9
16
＝ 9
16
49
100
＝ 49
100
2
2
2
5
＝
2
2
2
5
12
3
； 56
7
； 27 3 ； 213
1
3
．
15
60
8
72（3） ÷ ＝ ；（4） ÷ ＝ ．
由 （a≥0，b＞0），可以得到， （a≥0，b＞0）．
利用商的算术平方根的性质可以化简一些二次根式．
活动二：商的算术平方根的性质进行化简．
化简：（1） ； （2） ； （3） ； （4） （a≥0，b＞
0）．
学生练习：化简：（1） ＝ ；（2） ＝ ；
（3） ＝ ；（4） （y＞0）＝ ．
活动三：二次根式的除法运算法则的意义．
等式 成立的条件是 ．
练习：等式 成立的条件是 ．
三、拓展提高
1．计算 ÷ ；
2．已知一个长方形的面积为 ，其中一边长为 ，求长方形的对角线的长．
四、课堂小结：
你能总结一下，我们这节课学习的公式吗？
18 6 3
22 3
11
b
a
b
a ＝
b
a
b
a＝
16
25
917
3
16
2
2
4
9
b
a
9
4
9
53
49
3
2
4
9
25
y
x
22 －
＝－ x
x
x
x
x
x
x
x
－
＋＝－
＋
2
1
2
1
12 4 2
12 4
22 6cm 2cm12.2 二次根式的乘除（4）
教学目标：1．使学生能运用法则 ＝ （a≥0，b＞0）化去被开方数的分母或分母中
的根号；使学生能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或
因式，也不含有分母．根式运算的结果中分母不含有根号．
2．在解问题的过程中培养学生的探究意识、合作意识．
教学重点：商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用．
教学难点：商的算术平方根的性质的理解与运用．
教学过程：
一、情境创设：
想一想： ＝？（a_ _，b_ _）， ＝？（a_ _，b_ _）．
二、探索活动：
活动一：问题 1：如何化去 的被开方数中的分母呢？
问题 2：如何化去 的被开方数中的分母呢？
问题 3：如何化去 （a＞0）的被开方数中的分母呢？
对于更一般的情况：
问题 4：如何化去 （a≥0，b＞0）的被开方数中的分母呢？
由此你能得到一般的结论吗？
b
a
b
a
b
a
b
a
3
4
3
1
1
a
a
b活动二：
例 1、化去根号内的分母：
（1） ；（2） ；（3） （x＞0，y≥0）．
练习：化简．
（1） ； （2） ； （3） （a＞0，b≥0）．
活动三：
想一想：如果上面 首先化成 ，那么该怎样化去分母中的根号呢？
对于 该怎样化去分母中的根号呢？
＝ ＝ ＝ ， ．
当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有
根号．例如，当 a≥0，b＞0 时，
＝ ＝ ．
例 2、 化简下列各式，使分母中不含根号．
（1） ； （2） （x＞0）； （3） （x＞0，y≥0）．
练习：计算．
（1） ；（2） ；（3） （a＞0，b≥0）．
三、小结与作业：
一般地，二次根式运算的结果中，被开方数中应不含有分母，分母中应不含有根号．那么应
该怎样进行这两类二次根式的化简呢？
最简二次根式满足什么形式？
3
2
3
12 x
y
3
2
2
5
135
3
5
b
a
3
1
3
1
1
a
3
1
3
1
33
31
×
×
3
3 1 1 a a
aa a a
×= =
×
a
b
a b
b b
⋅
⋅
ab
b
3
2 1
5x 3
5
18
y
x
3
5
1
8 3
5
12
b
a
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