12.1 二次根式（1）
教学目标：1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；
2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；
3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．
教学重点：探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运
算．
教学难点：1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的性质；
2．理解、掌握、运用二次根式性质（ a）2＝a（a≥0）．
教学过程：
一、情景引入
情景一：这是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察发现：水域部分
是正方形，外围是圆．
如果该正方形的面积为 30m2，你知道该正方形的边长是多少米吗？
如果该圆的面积为 S m2，你知道该圆的半径是多少吗？
情景二：这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是 9m，垂直距离是
am．同学们知道这根钢索的长度吗？
二、课题引入
30、 、 a2＋81、…．这些式子有什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一些例子3 3
11
吗？
思考探索一：
1．下列哪些式子是二次根式？为什么？
（1） 35；（ 2） ；（3）3 2；（4） xy（x、y 异号）．
2．说一说，下列各式是二次根式吗？ 为什么？
（1） 32；（2） －12；（3） a2＋1；（4） －m（m≤0）.
3．（1）当 a＜0 时， a有意义吗？为什么？
（2）当 a≥0 时， a可能为负数吗？为什么？
思考探索二：
1．x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
思考探索三：
1． 的意义是什么？你会计算（ 2）2 吗？类似地，（ 4）2、（ 9）2、（ ）2、（ ）2
的结果是什么？类比猜想：当 a≥0 时，（ ）2 的结果是什么？
2．计算：
（1）（ ）2； （2）（ ）2； （3）（ ）2（a＋b≥0）．
3．计算：
（1）（ ）2－（ ）2； （2）（3 ）2； （3）（－2 ）2．
4．如图，长 3 米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角 米，请求出梯子的顶端与地面的距离 h
米．
三、总结：
1．二次根式的意义；
2．二次根式有意义的条件；
3．二次根式的基本性质．
1+x 22 +x 2x−
x23
1
−
2 01.0 30
a
12 3
2 ba +
12 +x 2x 6
2
1
3 1112.1 二次根式（2）
教学目标：1．学会二次根式的性质 a2＝｜a｜，并能运用这个性质化简二次根式；
2．知道公式 a2＝｜a｜与（ a）2＝a（a≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用；
3．在探究二次根式性质的过程中，培养和掌握“转化”思想．
教学重点：学会二次根式的性质 a2＝｜a｜，并能运用这个性质化简二次根式．
教学难点：知道公式 a2＝｜a｜与（ a）2＝a（a≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正
确运用．
教学过程：
一、情境创设
1．二次根式的概念；
2．二次根式有意义的条件；
3．（ a）2＝a（a≥0）．
二、探索活动
观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律．
22＝ ， 52＝ ， 102＝ ，
(－2)2＝ ， (－5)2＝ ，
(－10)2＝ , 02＝ ．
通过观察，你得到的结论是什么，试着说一说．
三、新知得出
发现：当 a≥0 时， a2＝_____，
当 a＜0， a2＝______．
根据绝对值的意义：
当 a≥0 时，| |＝ ；当 a＜0 时，| |＝－ ，
由此可知： a2＝｜a｜．
四、性质应用、学习例题
计算：
（1） ； （2） ； （3） （x≤1）．
五、学生练习
1．计算．
a a a a
4 2)5.1(− 2( 1)x－（1） ； （2） ； （3） ； （4） （x≥2）．
2．指出下列运算过程中的错误．
，可以写 ，
两边开平方得， ，所以 ，即 ．
六、拓展延伸
1．二次根式 与 中， 可以是怎样的实数？
2． 与 是否相等？
25 9
4 2( 7)－ 2 4 4x x－ ＋
2
21 1( )2 2
＝ － 2 25 5( 2) (2 )2 2
－ ＝ －
2 25 5( 2) (2 )2 2
－ ＝ － 5 52 22 2
－ ＝ － 1 1
2 2
＝－
a 2a a
2)( a 2a
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