九年级数学上册专题突破讲练相似中的“射影定理”试题新版青岛版.doc

1 相似中的“射影定理” 1. 射影定理 直角三角形射影定理（又叫欧几里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比 例中项。 如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是斜边 BC 上的高，则有射影定理如下： （1） 　　（2） 　　（3） △ABC∽△ABD∽△DAC 注意： （1）在 Rt△ABC 中，AD 为斜边 BC 上的高，图中共有 6 条线段：AC、BC、CD、AD、DB、 AB，已知任意两条，便可求出其余四条； （2）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可求第三条； （3）平方项一定是两相似三角形的公共边。 2. 定理推论 在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，且满足 ，则有 。 △ABD∽△CBA 例题 1 已知 CD 是△ABC 的高，DE⊥CA，DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA。 解析：根据△CDE∽△CAD 和△CDB∽△CFD 得 和 利用 等量代换和变形，即可证明△CEF∽△CBA。 答案：证明：在 Rt△ADC 中，由射影定律得， ， 2AD BD DC= ⋅ 2AB BD BC= ⋅ 2AC CD BC= ⋅ BAD C∠ = ∠ 2AB BD BC= ⋅ 2CD CE CA=  2CD CF CB= ⋅ 2CD CE CA= ⋅2 在 Rt△BCD 中， ∴ ∴ ∵ ∴△CEF∽△CBA 点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。做题时要善于发现相似， 找出等量关系，进行适当的变形。 例题 2 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，CD⊥AB 于 D。若 AE＝AC，BE 交⊙O 于点 F，连接 CF、DE。 求证：（1） （2） 解析：（1）根据 AE＝AC，可以把结论转化为证明 ，只需连接 BC，证 明△ACD∽△ABC 即可。（2）根据（1）中的结论，即可证明三角形 ADE 相似于三角形 AEB， 得到∠AED＝∠B，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。 答案：（1）连接BC， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90° ∵CD⊥AB， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ∵AC＝AE， ∴ （2）∵ ，∠EAD＝∠BAE， ∴△ADE∽△AEB， ∴∠AED＝∠B 2CD CF CB= ⋅ CE CA CF CB⋅ = ⋅ CE CF CB CA = ECF BCA∠ = ∠ 2 •AE AD AB= ACF AED∠ = ∠ 2 •AC AD AB= AC AB AD AC = 2 •AE AD AB= 2 •AE AD AB=3 ∵∠ACF＝∠B，∴∠ACF＝∠AED 点拨：本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用，注意转化思想的应用 是解决本题的关键。 【要点总结】 射影定理是相似三角形中的特殊形式，经常结合圆、矩形、平面直角坐标系和函数考查， 因此要善于在复杂的图形中发现满足射影定理的模型，并对其进行代数式的变形，以及等量 代换，从而达到解题目的。 例题 如图，在 Rt△ABC 中，CD，CE 分别是斜边 AB 上的高和中线，BC＝a，AC＝b（b＞ a），若 ，求 的值。 解析：在Rt△ABC 中，利用射影定理得到 ，进而得到 BD 的表达式，由 面积法可求出 CD 的长，根据 CE 为中线，建立关系式 DE＝BE﹣BD，再根据正切函数的定义， 建立关于 a、b 的关系式。 答案：在 Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴ ， 即 ： 。 由 等 面 积 法 知 ： ， ∴ 。 又因为 CE 是中线，则 。 在 Rt△CDE 中， ， 得： ， 解得 ，于是有 或 （舍负值）。 点拨：本题考查了射影定理、勾股定理、解直 角三角形，综合性较强，要认真对待。 （答题时间：30 分钟） 一、选择题 1 3tan DCE∠ = a b 2 •BC BD BA= 2 •BC BD BA= 2 2 2 2 BC aBD BA a b = = + 1 1 2 2ab AB CD= ⋅ 2 2 abCD a b = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 a b aDE BE BD a b a b a b −= − = + − = + + 1 3tan DCE∠ = 2 2 2 2 2 2 12 3 b a a b ab a b − + = + 2 23 2 3 0a ab b+ − = 1 10 3a b − ±= 10 1 3 a b −= 10 1 3 a b − −=4 1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D，若 AD：BD＝9：4，则 AC：BC 的值 为（ ） A. 9：4 B. 3：2 C. 4：9 D. 2：3 *2. 在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点 D，若 ，则 ＝（ ） A. B. C. D. *3. 已知：在△ABC 中，∠BAC＝90 °，AD⊥BC 于 D，M 为 BC 中点。下列关系式中正确的 是（ ） A. B. C. D. **4. 若正实数 x，y，z 满足① ， ② 。则下列关系式中正确 的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题 *5. 如图，△ABC 中 ，点 D 在 BC 上，以 为直径作⊙O， 恰过 A 点，若 AC 与⊙O 相切，则 AB 的长为 。 *6. 如图，矩形 ABCD 中， ，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 ， ，FG⊥AE 于 G，则 AG：GE＝　 　。 *7. 两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分 别为 a，b 的正方形拼成一个大正方形。图中 Rt△ABC 的斜边 AB 的长等于 （用 a， b 的代数式表示）。 3 4 AC AB = BD CD 4 3 3 4 16 9 9 16 2 2 2AC AB DM BC− = ⋅ 2 2 2AC BC DM AC− = ⋅ 2 2 2AC AB DM AC+ = ⋅ 2 2 2BC AB AD AC− = ⋅ 2 2 2x y z+ = 2 2 2z x r r− = xy zr> xy zr= xy zr< AB AC= 8BD = 5 6 AB BC = 1 6EC BC= 3 5FC CD=5 *8. Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是斜边 BC 上的高，则 三者之间的等 量关系式为 。 三、解答题 *9. 如图，AB 为⊙O 的直径，C为⊙O 上一点，CD⊥AB 于点 D，交 AE 于点 G，弦 CE 交 AB 于点 F，求证： 。 *10. （沈阳模拟）已知 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为 D，DF⊥AC，垂足为 F，DE⊥AB，垂足为 E。 求证：（Ⅰ） （Ⅱ） **11.已知：如图，BD、CE 是△ABC 的高，DG⊥BC 与 CE 交于 F，GD 的延长线与 BA 的延长 线交于点 H。求证： 。 **12. （莆田）（1）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°， BD⊥AC 于点 D。求证： 2 2 2, ,AB AC AD 2 •AC AG AE= • •AB AC AD BC= 3 • •AD BC BE CF= 2 •GD GF GH=6 ； （2）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为 BC 边上的点，BE⊥AD 于点 E，延 长 BE 交 AC 于点 F。 ，求 的值； （3）在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为直线 BC 上的动点（点 D 不与 B、C 重合）， 直线 BE⊥AD 于点 E，交直线 AC 于点 F。若 ，请探究并直接写出 的所有 可能的值（用含 n 的式子表示），不必证明。 2 •AB AD AC= 1AB BD BC DC = = AF FC AB BD nBC DC = = AF FC7 1. B 解析：由射影定理得 ，又∵ ， ∴ ，∴ ，故选 B。 2. C 解析：由勾股定理得： ∵ ，可得：△ABC∽△DBA∽△DAC ∴ ， ，选 C。 3. A 解析：由∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴△ABC∽△DBA∽△DAC， 可得 ， 。 又∵M 为 BC 中点，可得 ， ∴ 。 4. B 解析：如图，由条件① 可构造 Rt△ABC， 由条件② 联想到射影定理，作斜边 z 上的高 r， 由三角形的面积可得： ，即 。 5. 解析：连接 AD，作 于 H 点， 设 ， ， 由△CAD∽△CBA 得： ① 由射影定理得： ，故 ， 又知 H 为BC 中点，故 ，即 ②　　 由①、②解得： 。 22 rx −z xy r BA C D 2CD AD BD= ⋅ : 9: 4AD BD = : : 9: 4:6AD BD CD = : : 3: 2AC BC AD CD= = : : 3: 4:5AC AB BC = AD BC⊥ 2AB BD BC= ⋅ 2AC CD BC= ⋅ 2 2 2 2 2 2 4 16 3 9 AB BD ABBC ACCD AC BC = = = = 2AC CD BC= ⋅ 2AB BD BC= ⋅ 1 2AM BM CM BC= = = ( ) ( )2 2 2AC AB BC CD BD BC CM DM BM DM BC DM− = ⋅ − = ⋅ + − − = ⋅   222 zyx =+ 2 2 2z x r r− = 1 1 2 2xy zr= xy zr= 4 3 AH BC⊥ AB AC x= = CD y= ( )2 8x y y= + 2AB BH BD= ⋅ 2 2 8 AB xBH BD = = 2BC BH= 2 2 8 2 8 4 x xy+ = × = 4 3x =8 6. 4∶1 解析：矩形 ABCD 中， ，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 ， ，FG⊥AE 于 G，∴ ，∴ ， ，∴ ， 又∵∠ECF＝∠FDA，∴△CEF∽△DFA，∴ ，∠AFD＝∠FEC， ∴∠AFD＋∠CFE＝∠FEC＋∠CFE＝90°，∴∠AFE＝90° 又∵FG⊥AE，∴△AFE∽△AGF，△AFG∽△FEG， ∴ ，则 AG＝2FG， ＝2，∴ ， ∴AG＝4EG，AG：GE＝4：1。 7. 解析：Rt△ABC 的边 BC 在斜边 AB 上的射影为 a，由BC2＝a•AB 可得 。 8. 解析：由射影定理可得： ， ， ； ∴ ， 化简可得 。 9. 证明：延长 CG，交⊙O 于点 M，∵AB⊥CM，∴ ，∴∠ACG＝∠E 又∵∠CAG＝∠EAC ∴△CAG∽△EAC ∴ ∴ 10. 证明：（Ⅰ）因为 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC。显然△ABD∽△CBA ∴ ，即 （Ⅱ）∵由射影定理知 又由三角形相似可知 ，且 DF＝AE ∴ ，结合射影定理 ∴ 11. 证明：∵BD⊥AC，DG⊥BC，∴∠DGC＝∠DGB＝90°，∠CDB＝90°， 由射影定理得：△CGD∽△DGB，∴ ， ∵CE⊥AB，∴∠ECB＋∠CBE＝90°， 又∠H＋∠GBH＝90°，∴∠ECB＝∠H，∠FGC＝∠HGB＝90°， 5 6 AB BC = 1 6EC BC= 3 5FC CD= 2 5DF CD= 2AD CF = 2DF CE = AD DF CF CE = 2AD DF CF CE = = 2AF AG FG EF FG EG = = = EG FG EF AF = FG2 1EG = 2 2a b a + 2 2 B aA b a = + 2 2 2 1 1 1 AD AB AC = + 2AD BD DC= ⋅ 2AB BD BC= ⋅ 2AC CD BC= ⋅ 2 2 2 1 1 1 1 1 1, ,AD BD CD AB BD BC AC CD BC = = =⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 1 1 1 AD AB AC = + AC AM ∩ ∩ = AC AG AE AC = 2 •AC AG AE= AB BC AD AC = • •AB AC AD BC= 2 •AD AE AB= ,DF BE AB ED CF ED BC AD = = • • • •AE AB AD BC CF BE= 3 • •AD BC BE CF= 2 •DG BG CG=9 ∴△CGF∽△HGB，∴ ， ∴ ∴ 12. （1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC， 又 ∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴ ，∴ 。 （2）解：方法一： 如图②，过点 C 作 CG⊥AD 交 AD 的延长线于点 G，∵BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°， CG∥BF。 ∵ ，∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC， 又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG，∴ 由（1）可得： ， ， ∴ ，∴AE＝4DE，∴ 。 ∵CG∥BF，∴ 。 方法二： 如图③，过点 D 作 DG∥BF，交 AC 于点 G， ∵ ，∴ ，AB＝BC。 ∵DG∥BF，∴ ，FC＝2FG。 由（1）可得： ， ， ∴ ， ∵DG∥BF，∴ ，∴ 。 GF GC GB GH = • •GF GH BG GC= 2 •GD GF GH= AB AD AC AB = 2 •AB AD AC= 1AB BD BC DC = = 1 2ED GD EG= = 2AB AE AD= ⋅ 2 •BD DE AD= ( )22 2 2 2 4BDAE AB DE BD BD = = = 4 22 AE DE EG DE = = 2AF AE FC EG = = 1AB BD BC DC = = 1 2BD DC BC= = 1 2 FG BD FC DC = = 2 •AB AE AD= 2 •BD DE AD= ( )22 2 2 2 4BDAE AB DE BD BD = = = 4AF AE FG DE = = 22 AF AF FC FG = =10 （3）解：点 D 为直线 BC 上的动点（点 D 不与 B、C 重合），有三种情况： （I）当点 D 在线段 BC 上时，如图④所示： 过点 D 作 DG∥BF，交 AC 边于点 G。 ∵ ，∴ ∵DG∥BF，∴ ，∴ 由（1）可得： ， ， ∴ ； ∵DG∥BF，∴ ，即 ，化简得： ； （Ⅱ）当点 D 在线 段 BC 的延长线上时，如图⑤所示： 过点 D 作 DG∥BE，交 AC 边的延长线于点 G。同理可求得： ； （Ⅲ）当点 D 在线段 CB 的延长线上时，如图⑥所示： 过点 D 作 DG∥BF，交 CA 边的延长线于点 G。同理可求得： 。 AB BD nBC DC = = ( ) ( )1 1BD nDC BC n DC AB n n DC= = + = +， ， FG BD nGC DC = = 1 nFG nGC FG FCn = = +， 2 •AB AE AD= 2 •BD DE AD= ( ) ( ) ( ) 22 2 22 1 1n n DCAE AB nDE BD nDC +  = = = + ( )21AF AE nFG DE = = + ( )21 1 AF nn FCn = + + 2AF n nFC = + 2AF n nFC = − 2AF n nFC = −