精练一元二次方程的定义与判别式
1. 一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
注意：
（1）a≠0，如果a=0，方程不是一元二次方程，有时需要对a是否为0进行分类讨论；
（2）方程为整式方程，即分母中不能含有未知数；
（3）方程只能有一个未知数，常见的未知数为x、y、z等，a、b、c、m、n等字母常以参数的身份出现；
（4）未知数的最高次数是2；
（5）复杂的一元二次方程一般要转化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式再进行求解，且a一般为正数。
2. 一元二次方程的判别式
（1），方程有两个不相等的实数根；
（2），方程有两个相等的实数根；
（3），方程没有实数根；
（4），方程有实数根.
注意：
（1）判断判别式首先要把一元二次方程变为一般形式ax2+bx+c=0（且a≠0）；
（2）找系数a、b、c时一定要带着前面的符号；
（3）“，方程有实数根”含有两层含义，即：方程有两个不等的实根或两个相等的实根。
例题1 关于y的方程（a2﹣1）y2+（2a﹣1）y+5﹣a=0，当a为何值时，方程是一元二次方程？a为何值时，又是一元一次方程？
答案：（1）该方程为一元二次方程，则a2﹣1≠0，
解得a≠±1；
（2）该方程为一元一次方程，则a2﹣1=0且2a﹣1≠0，
解得a=±1且a≠ ，
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所以a=±1．
点拨：（1）根据二次项系数不等于0列式进行计算即可得解；
（2）根据二次项系数等于0，一次项系数不等于0列式进行计算即可得解．本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
例题2 （梅州）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
答案：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
点拨：由问题可知△一定大于零，所以写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．本题考查了根的判别式，要记牢公式，灵活运用．
例题3 （峨眉山市二模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．求实数m的取值范围；
答案：（1）由题意有△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得。
点拨：特别注意：因为方程有两个根，而无法确定这两个根是不是相等，所以令△≥0而不是令△＞0，由此来列出关于m的不等式并化简，然后求m的取值范围。
一元二次方程的定义和判别式有时候会结合其他知识点来考查，比如等腰三角形的性质，因此解决综合性较强的题时一定要灵活运用定义及判别式且解不等式时要注意不等号的变化。
例题 （武威模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若△ABC的两边AB，AC的长度是该方程的两个根，第三边BC=5，问：k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长．
答案：（1）证明：△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=1，
∵△=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由于AB≠AC，则AB=BC=5时，把x=5代入x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0得25﹣5（2k+3）+k2+3k+2=0，解得k1=3，k2=4，
7
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=x1+x2+5，
x1+x2=2k+3
∴△ABC的周长=2k+8
当k=3时，△ABC的周长=2k+8=2×3+8=14；
当k=4时，△ABC的周长=2k+8=2×4+8=16。
点拨：（1）先计算判别式的值得到△=1，然后根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根；
（2）由于方程总有两个不相等的实数根，根据等腰三角形的性质得AB=BC=5时，把x=5代入x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0得25﹣5（2k+3）+k2+3k+2=0，解得k1=3，k2=4，然后根据根与系数的关系得到当k=3时，△ABC的周长=5+2k+3=14；当k=4时，△ABC的周长=5+2k+3=16。
一、填空题
1. （白银）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= ____ 。
2. （襄阳）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程
x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 _________ 。
*3.（崇明县二模）将关于x的一元二次方程x2+px+q=0变形为x2=﹣px﹣q，就可将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知x2﹣x﹣1=0，可用“降次法”求得x4﹣3x﹣1的值是 _________。
4.（泰兴市二模）已知x=﹣2是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式4a2+b2﹣4ab的值是 _________ 。
**5.（淄博）关于x的反比例函数的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0的根的情况是 _________ ．
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**6.（武威模拟）实数m既能使关于x的不等式组无解，又能使关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
7. 在一元二次方程2x2-7x+ =0的划线处填上一个最小的整数，使这个方程没有实数根．
8. 若关于x的方程ax2=2x2+3是一元二次方程，则a满足的条件是 ．
*9. 已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，则k的最大值是
二、解答题
10. 已知关于x的方程（m﹣n）x2+mx+n=0．试探索：
（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？
（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
11.（鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．若方程有两实数根，求m的范围．
12.（南充模拟）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
**（2）求证：x=﹣1不可能是此方程的实数根．
7
一、填空题
1. 1
解析：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2﹣1=0，
∴a=1．
2. 5
解析：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，
∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②，
①+②，得2（a2﹣5a）=0，
∵a＞0，
∴a=5．
3. 1
解析：∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2=x+1，
∴x4﹣3x﹣1=（x+1）2﹣3x﹣1
=x2+2x+1﹣3x﹣1
=x2﹣x
=x+1﹣x
=1
4. 16
解析：∵x=﹣2是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴（﹣2）2﹣2a+b=0，
∴2a﹣b=4，
∴4a2+b2﹣4ab=（2a﹣b）2=42=16．
5. 没有实数根
解析：∵反比例函数y= 的图象位于一、三象限，
∴a+4＞0，
∴a＞﹣4，
∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，
∴2xy＞12，
7
即a+4＞6，a＞2
∴a＞2．
∴△=(﹣1)﹣4（a﹣1）×=2﹣a＜0，
∴关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0没有实数根．
6. ﹣1≤m＜5且m≠1
解析：∵不等式组无解，
∴m≥﹣1，
∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴m﹣1≠0且△=16﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜5且m≠1，
∴m的取值范围为﹣1≤m＜5且m≠1．
7. 7
解析：设划线处填的实数是c，
△=49-4×2×c＜0，
49-8c＜0，
解得：c＞，
c可以为7。
8. a≠2
解析：由原方程，得
（a-2）x2-3=0．
∵关于x的方程ax2=2x2+3是一元二次方程，
∴a-2≠0，
解得，a≠2．
9. 3
解析：一元二次方程2x2+4x+k-1=0，
∵a=2，b=4，c=k-1，且方程有实数根，
∴b2-4ac=16-8（k-1）=24-8k≥0，
解得：k≤3，则k的最大值为3．
二、解答题
7
10. 解：（1）根据题意得：，
解得：m=n≠0
（2）根据题意得：m﹣n≠0，解得：m≠n．
11. 解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4•m•（m﹣2）≥0，
解得m≥0，
∴m的取值范围为m＞0．
12．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴△=4（k+1）2﹣4k2＞0，
∴k＞﹣
（2）证明：∵x=﹣1当时，方程左边=1+2k+2+k2=k2+2k+3=（k+1）2+2＞0，
而右边=0，
∴左边≠右边，
∴x=﹣1不可能是此方程的实数根．
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