九年级数学上册专题突破讲练四点共圆问题大盘点试题新版青岛版.doc

1 四点共圆问题大盘点 1. 四点共圆的性质： （1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等； （2）圆内接四边形的对角互补； （3）圆内接四边形的外角等于内对角。 2. 四点共圆常用的判定方法： 判定 1：到定点的距离等于定长的点在同一圆上。 2 如果：OA=OB=O C=OD，则 A、B、C、D 四点共圆。 判定 2：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直 径。 如果：△ABD 和△BCD 是直角三角形，则 A、B、C、D 四点共圆。 判定 3：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。 如果：A、D 在公共边 BC 同侧，且∠A=∠D，则 A、B、C、D 四点共圆。 判定 4：对于凸四边形 ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则 A、 B、C、D 四点共圆。 3 如果：∠1+∠2=180°或∠1=∠3，则 A、B、C、D 四点共圆。 判定 5：对于凸四边形 ABCD 其对角线 AC、BD 交于点 P，若 PA·PC=PB·PD，则 A、B、 C、D 四点共圆。（相交弦定理的逆定理） 例题 （郑州模拟）如图，在正△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，且 AD= AC， AE= AB，BD，CE 相交于点 F。 （1）求证：A、E、F、D 四点共圆； （2）若正△ABC 的边长为 2，求 A、E、F、D 所在圆的半径。 解析：（1）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC⇒∠ADF+∠AEF=180°， 即可证得 A，E，F，D 四点共圆； 3 1 3 24 （2）取 AE 的中点 G，连接 GD，可证得△AGD 为正三角形，GA=GE=GD= ，即点 G 是△AED 外接圆的圆心，且圆 G 的半径为 。 答案：（1）证明：∵AE= AB， ∴BE= AB， ∵在正△ABC 中，AD= AC， ∴AD=BE， 又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE， ∴△BAD≌△CBE， ∴∠ADB=∠BEC， 即∠ADF+∠AEF=180 °，所以 A，E，F，D 四点共圆。 （2）解：如图， 取 AE 的中点 G，连接 GD，则 AG=GE= AE， ∵AE= AB， ∴AG=GE= AB= ， ∵AD= AC= ，∠DAE=60°，AB=AC ∴△AGD 为正三角形， ∴GD=AG=AD= ，即 GA=GE=GD= ， 所以点 G 是△AED 外接圆的圆心，且圆 G 的半径为 ， 由于 A，E，F，D 四点共圆，即 A，E，F，D 四点共圆 G，其半径为 。 点拨：本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能 力的考查，属于难题。 【方法定位】 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 1 2 3 2 1 3 3 2 1 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 25 将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考，即可发现， 适当利用四点共圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解决问题的途径。也就是说，四点 共圆有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。 例题 （河南模拟）如图：AB 是⊙O 的直径，G 是 AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的 割线，过点 G 作 AG 的垂线，交直线 AC 于点 E，交直线 AD 于点 F，过点 G 作⊙O 的切线，切 点为 H。 （1）求证：C，D，E，F 四点共圆； （2）若 GH=6，GE=4，求 EF 的长。 解析：（1）连接 DB，利用 AB 是⊙O 的直径，可得∠ADB=90°，在 Rt△ABD 和 Rt△AFG 中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE 即可 证明四点共圆； （2）由 C，D，E，F 四点共圆，利用共线定理可得 GE·GF=GC·GD。由 GH 是⊙O 的切 线，利用切割线定理可得 GH2=GC·GD，进而得到 GH2=GE·GF。即可 答案： 证明：（1）连接 DB，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， 在 Rt△ABD 和 Rt△AFG 中，∠ABD=∠AFE， 又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE。 ∴C，D，E，F 四点共圆； （2）∵C，D，E，F 四点共圆，∴GE·GF=GC·GD。 ∵GH 是⊙O 的切线，∴GH2=GC·GD，∴GH2=GE·GF。 又因为 GH=6，GE=4，所以 GF=9。 ∴EF=GF－GE=9－4=5。 点拨：熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切 割线定理等是解题的关键。此题综合性较强，涉及知识点较全面。 （答题时间：30 分钟） 一、选择题 1. 锐角△ABC 的三条高 AD、BE、CF 交于 H，在 A、B、C、D、E、F、H 七个点中。能组成 四点共圆的组数是（　　） A. 4 组 B. 5 组 C. 6 组 D. 7 组6 2.如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 为对角线，点 M、E、N、F 分别为 AD、AB、BC、CD 边 的中点，下列说法： ①当 AC=BD 时，M、E、N、F 四点共圆。 ②当 AC⊥BD 时，M、E、N、F 四点共圆。 ③当 AC=BD 且 AC⊥BD 时，M、E、N、F 四点共圆。 其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 3. 如图，A，B，C，D 是圆上四点，AD，BC 的延长线交于点 P，弧 AB、弧 CD 分别为 100°、40°，则∠P 的度数为（　　） A. 40° B. 35° C. 60° D. 30° 4. （高青县模拟）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，CM 切⊙O 于点 C， ∠BCM=60°，则∠B 的正切值是（　　） A. B. C. D. 5. 已知 Pi（i=1，2，3，4）是抛物线 y=x2+bx+1 上共圆的四点，它们的横坐标分别为 xi （i=1，2，3，4），又 xi（i=1，2，3，4）是方程（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0 的根，则二 次函数 y=x2+bx+1 的最小值为（　　） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 二、填空题 6. 如图，在△ABC 中，AD，BE 分别是∠A，∠B 的角平分线，O 是 AD 与 BE 的交点，若 C， D，O，E 四点共圆，DE=3，则△ODE 的内切圆半径为 。 1 2 3 3 2 2 37 7. （济宁）如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=　　度。 8. 已知△ABC 的中线 AD、BE 交于 K，AB= ，且 K，D，C，E 四点共圆，则 CK= 。 **9. 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AE=DC·AF，B，E，F，C 四点共圆。若 DB=BE=EA，则过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 。 三、解答题 10. （太原模拟）如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，BE、CD 分别为半圆的切线，切点分别 为 B、C，DC 的延长线交 BE 于F，AC 的延长线交 BE 于 E。AD⊥DC，D 为垂足。 （1）求证：A、D、F、B 四点共圆； （2）求证：EF=FB。 38 *11. （贵阳模拟）如图，AP是圆 O 的切线，A 是切点，AD⊥OP 于 D 点，过点 P 作圆 O 的 割线与圆 O 相交于 B，C 两点。 （1）证明：O、D、B、C 四点共圆。 （2）设∠OPC=30°，∠ODC=40°，求∠DBC 的大小。 *12. （长春模拟）如图，在△ABC 中，∠C 为钝角，点 E，H 分别是边 AB 上的点，点 K 和 M 分别是边 AC 和 BC 上的点，且 AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。 （1）求证：E、H、M、K 四点共圆； （2）若 KE=EH，CE=3，求线段 KM 的长。9 一、选择题 1. C 解析：如图，以 AH 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E）， 以 BH 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D）， 以 CH 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E）， 以 AB 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B）， 以 BC 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C）， 以 AC 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C）， 共 6 组。 故选 C。 2. C 解析：连接 EM、MF、FN、NE，连接 EF、MN，交于点 O，如图所示， ∵点 M、E、N、F 分别为 AD、AB、BC、CD 边的中点， ∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF= BD，EN=MF= AC， ∴四边形 ENFM 是平行四边形， ①当 AC=BD 时， 则有 EM=EN， 所以平行四边形 ENFM 是菱形， 而菱形的四个顶点不一定共圆， 故①不一定正确； ②当 AC⊥BD 时， 由 EM∥BD，EN∥AC 可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°， 所以平行四边形 ENFM 是矩形， 则有 OE=ON=OF=OM。 所以 M、E、N、F 四点共圆， 故②正确； ③当 AC=BD 且 AC⊥BD 时， 同理可得：四边形 ENFM 是正方形。 则有 OE=ON=OF=OM。 所以 M、E、N、F 四点共圆， 故③正确。 故选 C。 1 2 1 210 3. D 解：连接 BD， ∵ =100°， ∴∠ADB=100°× =50°， 又∵ =40°， ∴∠B=20°， 在△DBP 中，∠P=∠ADB－∠B=50°－20°=30°。 故选 D。 4. B 解：连接 BD， AB 是直径，则∠ADB=90°， ∴∠CDB=∠BCM=60°， ∴∠CDA=∠CDB+∠ADB=150°， ∵∠CBA=180°－∠CDA=30°， ∴tan∠ABC=tan30°= ， 故选 B。 5. C 解：抛物线与圆的四个交点，上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上。 所以由（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0 可知，该抛物线的对称轴为 x=2。 则 b=－4。 所以最小值为 。 AB ∩ 1 2 CD ∩ 3 3 24 1 1- -4 =-34 1 × × × （ ）11 二、填空题 6. 解：作 OF⊥ED 于点 F， ∵AD，BE 分别是∠A，∠B 的角平分线， ∴∠AOB=90°+ ∠C，CO 平分∠ACB， 又∵∠DOE=∠AOB，∠DOE+∠C=180°， ∴∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°， ∴90°+ ∠C＋∠C=180° 在 AB 上截取 AM=AE，可得△AOE △AOM ∴OE=OM， ∵∠DOE=120°， ∴∠EOA=∠AOM=∠DOB=∠BOM =60°， ∴△BOM △BOD ∴OD=OM， ∴OD=OE， ∴∠OED=∠ODE=30°， ∴FD= ， tan30°= ， ∴FO= ，OD=OE= ， ∴△ODE 的周长为：2 +3， ∴△ODE 的面积为： ×3× = ， ∴△ODE 的内切圆半径为 ， 故答案为： 。 7. 解：∵AB=AC=AD， ∴点 B，C，D 可以看成是以点 A 为圆心，AB 为半径的圆上的三个点， 1 2 2 1 ≅ ≅ 3 2 3 2 FO FO DF = 3 2 3 3 1 2 3 2 3 3 4 3 3 3 32 3 22 3 3 = − + 3 33 2 −12 ∴∠CBD 是弧 CD 所对的圆周角，∠CAD 是弧 CD 所对的圆心角； ∵∠CAD=76°， ∴∠CBD= ∠CAD= ×76°=38°。 8. 解：作△ABC 的外接圆，延长 CK 交圆于点 H，交 AB 于 F，则∵K，D，C，E 四点共圆， DE∥BA ∴∠BHC=∠BAC=∠DEC=∠DKC， ∴AK∥HB， ∵D 为 BC 的中点 ∴点 K 是 CH 的中点，即 CK=KH， 又 K 是重心， ∴FK=HF= CF， 由相交弦定理，得 BF×FA=CF×FH， ∴ · = CF2， ∴CF= ， ∴CK= =1， 故答案为 1。 9. 解：如图所示， 连接 EF。∵DC 是△ABC 的外接圆的切线，∴∠DCB=∠EAF， ∵BC·AE=DC·AF，∴ ， ∴△BCD≌△FAE， ∴∠CBD=∠AFE， ∵B、E、F、C 四点共圆， ∴∠AFE=∠CBE， ∴∠CBD=∠CBE， 又∵∠CBD+∠CBE=180°，∴∠CBE=90°， ∴AC 是△ABC 的外接圆的直径，CE 是 E，F，C 四点所在圆的直径。 不妨设 DB=1，则 BE=EA=DB=1， 由切割线定理可得：DC2=DB•DA=1×3， ， 1 2 1 2 1 3 3 2 3 2 1 3 3 2 2 3 3 2 ⋅ BC DC AF AE = 3DC =13 在△DCE 中，由 DB=BE，CB⊥DE。∴CE=DC= ， 在 Rt△CBE 中，BC2=CE2－BE2= ， 在 Rt△ABC 中，AC2=BC2+AB2=2+22=6。 ∴过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值= 。 故答案为 。 三、解答题 10. 证明：（1）∵FB 是半圆 O 的切线， ∴∠ABF=90°， 又∵AD⊥DC， ∴∠ADF=90°， ∴A，D，F，B 四点共圆。 （2）解：连接 BC，则 BC⊥AC， ∵DF 是半圆的切线， ∴∠DCA=∠ABC， ∵∠DCA=∠ECF， ∴∠ECF=∠ABC， 在 Rt△ABE 中，BC⊥AE， ∴∠ABC=∠E， ∴∠ECF=∠E，∴EF=FC， ∵FC，FB 是半圆的切线， ∴FC=FB， ∴EF=FB。 11. 解：（1）证明：∵AP 是圆 O 的切线，A 是切点， ∴OA⊥AP， ∵AD⊥OP， 3 ( )2 23 1 2− = 2 2 2 2 ( ) 3 12 6 2( )2 CE CE AC AC π π = = = 1 214 ∴AP2=PD·PO， ∵AP 是圆 O 的切线，PBC 是圆 O 的割线， ∴AP2=PB·PC， ∴PD·PO=PB·PC， ∴ ， ∵∠DPB=∠CPO， ∴△DPB∽△CPO， ∴∠PDB=∠PCO， ∴O，D，B，C 四点共圆； （2）解：连接 OB，则∠OBC=∠ODC=40°， ∴∠OCB=40°， ∵O，D，B，C 四点共圆， ∴∠PDB=∠OCB=40°， ∴∠DBC=30°+40°=70°。 12. （1）证明：连接 CH，∵AC=AH，AK=AE，∴四边形 CHEK 为等腰梯形， 注意到等腰梯形的对角互补， 故 C，H，E，K 四点共圆， 同理 C，E，H，M 四点共圆， 即 E，H，M，K 均在点 C，E，H 所确定的圆上。 （2）解：连接 EM， 由（1）得 E，H，M，C，K 五点共圆， ∵CEHM 为等腰梯形，∴EM=HC， 故∠MKE=∠CEH， 由 KE=EH 可得∠KME=∠ECH， 故△MKE≌△CEH， 即 KM=EC=3。 PD PB PC PO =