九年级数学上册专题突破讲练相似三角形的性质试题新版青岛版.doc

1 相似三角形的性质 相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应角相等； 2. 相似三角形的对应边成比例； 3. 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长的比等于相似比。 方法归纳：（或技巧归纳） 当你发现问题中出现以下情况时，很可能是借助相似来解决： ① 比或比例； 示例：平行四边形 ABCD 中，E 在 DC 上，若 DE：EC=1：2，则 BF：EF=__ _______． 解析：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．由题可知△ABF∽△CEF，然后 根据相似比求解． 答案：3：2 解：∵DE：EC=1：2；∴EC：CD=2：3 即 EC：AB=2：3，∵AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2． ② 线段的积； 示例：四边形中，AC 平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，求证： 解析：由 AC 平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形 的对应边成比例，证得 AC2=AB•AD； 证明：∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC= AC：AB，∴AC2=AB•AD； ③边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等。 示例：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延 长线于点 E，则 CE 的长为_________． F A D B C E A D C B D A CB E 2AC AB AD= 2 解析：本题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用 及方程的数学思想．解决此题需要我们利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计 算． 答案： 解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，根据勾股定理得：BC=3， 而 AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E，∴BD= ，∠BDE=90°，又∵∠B=∠B， ∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD=AB：BE，又 BC=3，AB=5，∴BE= ， 从而得到 CE=BE—BC= ． 总结： 1. 掌握相似三角形的性质； 2. 能利用相似三角形的性质求角的度数或线段的长度、线段之间的关系等。 例题 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，翻折∠C，使点 C 落在斜边 AB 上某一点 D 处，折痕为 EF（点 E、F 分别在边 AC、BC 上）。若△CEF 与△ABC 相似。 （1）当 AC＝BC＝2 时，求 AD 的长； （2） 当 AC＝3，BC＝4 时，求 AD 的长。 解析：若△CEF 与△ABC 相似。 （1）当 AC＝BC＝2 时，△ABC 为等腰直角三角形；（2） 当 AC＝3，BC＝4 时，分两种情况：（I）若 CE：CF＝3：4，如答图 2 所示，此时EF∥AB，CD 为 AB 边上的高；（II）若 CF：CE＝3：4，如答图 3 所示。由相似三角形角之间的关系，可 以推出∠A＝∠ECD 与∠B＝∠F CD，从而得到 CD＝AD＝BD，即 D 点为 AB 的中点。 答案：若△CEF 与△ABC 相似。（1）当 AC＝BC＝2 时，△ABC 为等腰直角三角形，如答 图 1 所示。 此时 D 为 AB 边中点，2AD2＝AC2，∴AD＝ 2 2 AC＝ 2。 （2）当 AC＝3，BC＝4 时，有两种情况：（I）若 CE：CF＝3：4，如答图 2 所示。 7 6 5 2 25 6 7 63 ∵CE：CF＝AC：BC，∴EF∥BC。由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时 CD 为 AB 边上的高。在 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5。∵∠ADC＝∠ACB＝90°且∠A＝∠A，∴△ ACD∽△ABC，∴ AD AC＝ AC AB，即 AD 3 ＝ 3 5，∴AD＝ 9 5；（II）若 CF：CE＝3：4，如答图 3 所示。 ∵△CFE∽△CAB，∴∠C EF＝∠B。由折叠性质可知，∠CEF＋∠ECD＝90°，又∵∠A＋∠B＝ 90°，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD。同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，∴此时 AD＝ 1 2AB＝ 5 2。 综上所述，当 AC＝3，BC＝4 时，AD 的长为 9 5或 5 2。 点拨：本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质。第 （2）问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意。 利用相似三角形的性质求线段的长度是一类常见问题，常常综合考查勾股定理、等腰三 角形、四边形等知识，特别是在中考试题中经常以压轴题的形式出现，有时难度较大。解答 这类问题时通常利用相似三角形对应边成比例或勾股定理等列方程，用代数方法求线段的长 度。 满分训练 如图，直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段 AB 上取 一点 D，作 DF⊥AB 交 AC 于点 F。现将△ADF 沿 DF 折叠，使点 A 落在线段 DB 上，对应点记 为 A1；AD 的中点 E 的对应点记为 E1。若△E1FA1∽△E1BF，则 AD＝__________。 解析：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8，设 AD＝ 2x，∵点 E 为 AD 的中点，将△ADF 沿 DF 折叠，点 A 对应点记为 A1，点 E 的对应点为 E1，∴ AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，∵DF⊥AB，∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC＝ DF：BC，即 2x：8＝DF：6，解得DF＝1.5x，在 Rt△DE1F 中，E1F2＝DF2＋DE12＝3.25x2，又∵ BE1＝AB－AE1＝10－3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F∶A1E1＝BE1∶E1F，∴E1F2＝A1E1•BE1，即 3.25x2＝x（10－3x），解得 x＝1.6，∴AD 的长为 2×1.6＝3.2。 答案：3.2 点拨：本题是一道综合性难题，主要考查轴对称变换、折叠、勾股定理、相似三角形的 对应边成比例。利用勾股定理列式求出 AC，设 AD＝2x，得到AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，然后 求出 BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出 DF，然后利用勾股定理列式求出 E1F， 然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到 x 的值，从而得出 AD 的值。4 （答题时间：30 分钟） 一、选择题 1. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，则 BC 的长是（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 7 2 *2. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并 延长交 DC 于点 F，则 DF：FC＝（ ） A. 1：4 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：2 **3. 如图所示，AD∥BC，∠D＝90°，DC＝7，AD＝2，BC＝3。若在边 DC 上有点 P 使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点 P 有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 **4. 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝a，BC＝b（a＞b）。在△ABC 内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE ＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE。则 EF 等于（ ） A. b3 a2 B. a3 b2 C. b4 a3 D. a4 b3 二、填空题 A B CD P5 5. 在平行四边形 ABCD 中，E 在 DC 上，若 DE：EC＝1：2，则 BF：BE＝__________。 6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 在 AB 上，CE、BD 交于 F，若 AE：BE＝4：3，且 BF＝ 2，则 DF＝__________。 *7. 如 图 ， 在 边 长 为 9 的 正 三 角 形 ABC 中 ，BD＝ 3 ， ∠ADE＝ 60° ， 则 AE 的 长 为 __________。 *8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延 长线于点 E，则 CE 的长为__________。 三、解答题 *9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC 的平分线 BF 分别与 AC、AD 交于点 E、F。 （1）求证：AB＝AF； （2）当 AB＝3、BC＝5 时，求 AE AC的值。 **10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE A B C D E6 上一点，且∠AFE＝∠B。 （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若 AB＝8，AD＝6 3，AF＝4 3，求 AE 的长。 **11. 如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若 AD＝4，AB＝6，求 AC AF的值。 **12. 【提出问题】 （1）如图 1，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C），连结 AM， 以 AM 为边作等边△AMN，连结 CN。求证：∠ABC＝∠ACN。 【类比探究】 （2）如图 2，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C），其它 条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN 还成立吗？请说明理由。 【拓展延伸】 （3）如图 3，在等腰△ABC 中，BA＝BC，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C）， 连结 AM，以 AM 为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC。连结 CN。试探究∠ABC 与∠ACN 的 数量关系，并说明理由。7 1. C 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，则 AD DE＝ AB BC，∵DE＝1，AD＝2，DB＝3，∴AB＝AD ＋DB＝5，∴BC＝ 5 × 1 2 ＝ 5 2。故选 C。 2.D 解析：在平行四边形 ABCD 中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴ DF AB＝ DE EB，∵O 为对角线 的交点，∴DO＝BO，又∵E 为 OD 的中点，∴DE＝ 1 4DB，则 DE：EB＝1：3，∴DF：AB＝1：3， ∵DC＝AB，∴DF：DC＝1：3，∴DF：FC＝1：2。故选 D。 3. C 解析：设 PD＝x，则（1）若△APD∽△PBC，则 PD AD＝ PC BC，即 x 2＝ 7－x 3 ，解之得 x＝ 14 5 ； （2）若△PAD∽△BPC，则 PD AD＝ BC PC，即 x 2＝ 3 7－x，解之得 x1＝1，x2＝6。综上所述， 存在三 个点 P，使△PAD 与△PBC 相似。 4. C 解析：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠CBD＝∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得： △ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴ AB BC＝ BC CD， CD BD＝ DE CD， EF DE＝ DE CE，且 BD＝BC，CE＝CD，解得：CD ＝ b2 a ，DE＝ b3 a2，EF＝ b4 a3。故选 C。 5. 3：5 解析：∵DE：EC＝1：2，∴EC：CD＝2：3 即EC：AB＝2：3，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF， ∴BF：EF＝AB：EC＝3：2。∴BF：BE＝3：5。 6. 14 3 解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE：BE＝4：3， ∴BE：AB＝3：7，∴BE：CD＝3：7。∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF＝BE：CD＝3： 7，即 2：DF＝3：7，∴DF＝ 14 3 。 7. 7 解析：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC；∴CD＝BC－BD＝9－3 ＝6；∴∠ BAD＋∠ADB＝120°，∵∠ ADE＝60°，∴∠ ADB＋∠EDC＝120°，∴∠ DAB＝ ∠EDC，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE，则 AB BD＝ DC CE，即 9 3＝ 6 CE，解得：CE＝2，故 AE ＝AC－CE＝9－2＝7。 8. 7 6 解析：在 Rt△ABC 中，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，BD＝ 5 2。易知△ABC∽△EBD，∴ AB BC＝ BE BD，即 5 3＝ BE 2.5，∴BE＝ 25 6 ，∴CE＝BE－BC＝ 25 6 －3＝ 7 6。 9. 解：（1）证明：如图，在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠2＝∠3。∵BF 是∠ABC 的平分线，∴∠1＝∠2。∴∠1＝∠3。∴ AB＝AF。（2）∵∠ AEF＝∠CEB，∠2＝∠3， ∴△AEF∽△CEB，∴ AE EC＝ AF BC＝ 3 5，∴ AE AC＝ 3 8。 10. 解：（1）证明：在平行四边形 ABCD 中 AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF ＝∠DEC。∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C。在△ADF 与△DEC 中， {∠AFD＝∠C ∠ADF＝∠DEC，∴△ADF∽△DEC。（2）解：∵平行四边形 ABCD，∴CD＝AB＝8。由（1）知 △ADF∽△DEC，∴ AD DE＝ AF CD，∴DE＝ AD·CD AF ＝ 6 3 × 8 4 3 ＝12。在 Rt△ADE 中，由勾股定理得： AE＝ DE2－AD2＝ 122－（6 3）2＝6。 11. 解：（1）证明：∵ AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，8 ∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E 为 AB 的中点，∴CE＝ 1 2AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解： ∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝ 1 2AB，∴CE＝ 1 2×6＝3，∵AD＝4，∴ 4 3＝ AF CF，∴ AC AF＝ 7 4。 12. 解：（1）证明：∵△ABC、△AMN 是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN ＝ 60° ， ∴∠BAM ＝ ∠CAN ， ∵ 在 △BAM 和 △CAN 中 ， {AB＝AC ∠BAM＝∠CAN AM＝AN ， ∴△BAM≌△CAN （SAS），∴∠ABC＝∠ACN。（2）解：结论∠ABC＝∠ACN 仍成立。理由如下：∵△ABC、△AMN 是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM 和 △CAN 中，{AB＝AC ∠BAM＝∠CAN AM＝AN ，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN。（3）解：∠ABC＝ ∠ACN。理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN， ∴△ABC∽△AMN，∴ AB AM＝ AC AN，又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝ ∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN。