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根的判别式的深化应用
一、一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），它的解的情况由 b2－4ac 的取值决定，我们
通常用“ ”来表示， ，即 。
方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况
b2 － 4ac＞
0 两个不相等的实数根
b2 － 4ac＝
0 两个相等的实数根
b2 － 4ac＜
0 没有实数根
方法归纳：用b2－4ac 可以判断方程根的情况，反过来，若已知方程根的情况，则可确
定 b2－4ac 的取值。
二、根的判别式的应用
1. 判断一元二次方程根的情况。
2. 确定一元二次方程中字 母系数的取值范围。
3 . 确定一元二次方程根 的某些特性，如是不是有理根。
方法归纳：（1）计算 b2－4ac 时注意 a、b、c 表示各项系数，包括它们前面的符
号；（2）关于根的判别式 b2－4ac 的正、负号的判定涉及代数式的恒等变形，一般地，
将表示 b2－4ac 的代数式进行配方，利用非负数、非正数的概念，确定 b2－4ac 的
正、负号。
总结：
1. 会讨论方程的根的情况，包括一元一次方程和一元二次方程。
2. 能利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的特性，如：有理根、整数根等。
例题 1 关于 x 的一元二次方程 x2－mx＋（m－2）＝0 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
解析：这是含字母系数的一元二次方程，将字母视为数字即可。这里 a＝1，b＝－m，
c＝m－2。因为 b2－4ac＝（－m）2－4×1×（m－2）＝m2－4m＋8＝m2－4m＋4＋4＝（m－
2）2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根。
答案：A
点拨：判断 b2－4ac 的正、负情况时，通常有两种情形，（1）已知判别式中某些字母的
取值范围，依此确定判别式 的取值范围；（2）一般要将表示 b2－4ac 的代数式进行配方，
利用偶次幂的非负性确定 b2－4ac 的正、负号。
例题 2 定义：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足 a＋b＋c＝0，那么我们
称这个方 程为“凤凰”方程，已知 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等
的实数根，则下列结论正确的是（ ）
∆ acb 42 − acb 42 −=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆ =∆
∆2
A. a＝c B. a＝b C. b＝c D. a＝b＝c
解析：由方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足 a＋b＋c＝0 可知方程的解为 x＝1，然后由
方程解的情况建立 a、b、c 之间的数量关系。
答案：因为 a＋b＋c＝0，所以b＝－（a＋c）。
因为方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
所以 b2－4ac＝0，把 b＝－（a＋c）代入，得：
[－（a＋c）]2－4ac＝a2＋2ac＋c2－4ac＝0。
所以 a2－2ac＋c2＝0，即（a－c）2＝0。
所以 a＝c。故选 A。
点拨：解此类型问题，首先要明确所给定义的含义，然后用定义去考量已知条件，依
据定义或定义提供的方法解题。
例题 3 已知关于 x 的方程 kx2－5x＋2＝0 有实数根，求 k 的取值范围。
解析：本题并没有明确指出方程是否为一元二次方程，因此应对二次项系数 a 的取值
进行分类讨论。
答案：当 k＝0 时，方程为一元一次方程，有一个实数根。
当 k≠0 时，方程为一元二次方程，且 a＝k、b＝－5、c＝2。
所以 ＝b2－4ac＝（－5）2－4×k×2＝25－8k。
当 25－8k＞0，即k＜
25
8 且 k≠0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 25－8k＝0，即k＝
25
8 时，方程有两个相等的实数根；
当 25－8k＜0，即k＞
25
8 时，方程无实数根。
综上所述，k 的取值范围是 k≤
25
8 。
点拨：从数学方法的角度看，本题属于分类讨论型问题，而且需要讨论两点：一是此方
程可分为一元一次方程和一元二次方程两种情况；二是一元二次方程有实数根可分为有两个
相等的实数根和两个不相等的实数根。
一元二次方程根的判别式不但可以判断方程有没有实数根，而且可以判断出方程有没有
有理根。不难理解，只要 ＝b2－4ac 是一个有理数的完全平方数（或开平方开得尽），原
方 程 的 根 就 一 定 是 有 理 数 。 要 判 断 一 个 一 元 二 次 方 程 的 根 是 不 是 整 数 可 结 合 x＝
－b ± b2－4ac
2a 来确定。
例题 边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程 x2－（k＋2）x＋4k＝0 的
两根，求 k 的值，并确定直角三角形三边之长。
解：因为方程的根为整数，故 ＝（k＋2）2－16k 为完全平方数。
设（k＋2）2－16k＝n2，∴k2－12k＋4＝n2，∴（k－6）2－n2＝32，∴（k＋n－6）（k－
n－6）＝1×32＝2×16＝4×8。
∵k＋n－6＞k－n－6，∴{k＋n－6＝32
k－n－6＝1 或{k＋n－6＝16
k－n－6＝2 或{k＋n－6＝8
k－n－6＝4。
解得 k1＝
45
2 （舍去），k2＝15，k3＝12。
当 k＝15 时，有 x2－17x＋60＝0，解得 x＝5 或 12，则斜边 c＝13；
∆
∆
∆3
当 k＝12 时，有 x2－14x＋48＝0，解得 x＝6 或 8，则斜边 c＝10。
所以这个直角三角形三边长分别为 5、12、13 或 6、8、10。
分析：解答本题的关键是根据已知方程求出直角三角形的两条直角边长，因为直角三角
形的边长为整数，所以已知方程有两个 整数根。一元二次方程有整数根至少要求判别式为
有理数的完全平方数。
（答题时间：45 分钟）
一、选择题
1. 关于 x 的方程 x2－kx＋k＝2 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 不能确定
2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. x2－3x＋1＝0 B. x2＋1＝0 C. x2－2x＋1＝0 D. x2＋2x＋3＝0
3. 对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2－2（k＋1）x－k2＋2k－1＝0 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
4. 已知b＜0，关于 x 的一元二次方程（x－1）2＝b 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 有两个实数根
*5. 若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x－1＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范
围是（ ）
A. k＞－1 B. k＜1 且 k≠ 0
C. k≥－1 且 k≠0 D. k＞－1 且 k≠0
**6. 如果关于 x 的方程 x2＋4x＋ 10－a＋2＝0 有两个有理根，那么所有满足条件的正
整数 a 的个数是（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题
*7. 若 5k＋20＜0，则关于 x 的一元二次方程 x2＋4x－k＝0 的根的情况是__________。
*8. 若关于 x 的一元二次方程 kx2＋4x＋3＝0 有实数根，则 k 的非负整数值是__________。
*9. 若︱b－1︱＋ a－4＝0，且一元二 次方程 kx2＋ax＋b＝0 有两个实数根，则 k 的取
值范围是__________。
**10. 如果关于 x 的方程 x2＋kx＋
3
4k2－3k＋
9
2＝0 的两个实数根分别为 x1，x2，那么
x12012
x22013
的值为__________。
三、解答题
11. 当 m 为何值时，关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋m－
1
2＝0 有两 个相等的实数根，此时
这两个实数根是多少？
12. 关于 x 的方程 x2－（2a－1）x＋（a－3）＝0，试说明无论 a 取任何实数，方程总有
两个不等实数根。
*13. 已知关于 x 的方程 x2＋2（a＋1）x＋（3a2＋4ab＋4b2＋2）＝0 有实数根，求 a、b4
的值。
**14. 已知一元二次方程 x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5。当
△ABC 是等腰三角形时，求 k 的值。
**15. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋2k－4＝0 有两个不相等的实数根。
（1）求 k 的取值范围；
（2 ）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值。5
一、选择题
1. A 解析：因为 b2－4ac＝k2－4（k－2）＝k2－4k＋8＝（k－2）2＋4＞0，所以原方程
有两个不相等的实数根。
2. A 解析：依据判别式进行判断即可，选项 A 中 ＞0，选项 B 中 ＜0，选项 C 中 ＝
0，选项 D 中 ＜0。
3. C 解析： ＝4（k＋1）2－4（－k2＋2k－1）＝4k2＋8k＋4＋4k2－8k＋4＝8k2＋8＞
0，所以原方程有两个不相等的实数根。
4. C 解析：本题不必利用判别式，根据二次幂的意义判断即可。
*5. D 解析：根据题意可知，（－2）2－4k×（－1）＞0，即 k＞－1。且当 k＝0 时原方
程为一元一次方程，不符合题意，所以 k＞－1 且 k≠0。
**6. B 解析：根据题意得 42－4（ 10－a＋2）＝8－4 10－a是一个有理数的完全平
方数。又 10－a≥0，即 a≤10，因为 a 是正整数，显然，当 a＝1、6、9、10 时 10－a是有
理数，其中 a＝6、9 时 8－4 10－a是一个有理数的完全平方数。所 以 a＝6 或 9。
二、填空题
*7. 没有实数根 解析：由 5k＋20＜0 得 k＜－4。此时 ＝42＋4k＜0，所以原方程没有
实数根。
*8.1 解析：由题意可得 ＝42－4k×3＝16－12k≥0，即 k≤
4
3，所以 k 的非负整数值是
1。
*9. k≤4 且 k≠0 解析：∵︱b－1︱＋ a－4＝0，∴b－1＝0， a－4＝0，解得 b＝1，
a＝4。又∵一元二次方程 kx2＋ax＋b＝0 有两个实数根，∴ ＝a2－4kb≥0 且 k≠0，解得 k
≤4 且 k≠0。
**10. －
2
3 解析：根据题意，关于 x 的方程有两个实数根，则 ＝k2－4（
3
4k2－3k＋
9
2）≥
0，即（k－3）2≤0。又因为恒有（k－3）2≥0，所以（k－3）2＝0，解得 k＝3。
此时方程为 x2＋3x＋
9
4＝0，解得 x1＝x2＝－
3
2。故
x12012
x22013＝
1
x2＝－
2
3。
三、解答题
11. 解：因为一元二次方程有两个相等的实数根，∴（－4）2－4（m－
1
2）＝0，即 16－4m
＋2＝0，m＝
9
2，当 m＝
9
2时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝2。
12. 解： ＝[－（2a－1）]2－4（a－3）＝4a2－8a＋13＝4a2－8a＋4＋9＝4（a2－2a＋
1）＋9＝4（a－1）2＋9。∵（a－1）2≥0，∴4（a－1）2＋9＞0，即 ＞0 恒成立，∴方程
总有两个不等实数根。
*13. 解：判别式 ＝[2（a＋1）]2－4（3a2＋4ab＋4b2＋2）＝4（a2＋2a＋1）－（12a2＋
16ab＋16b2＋8）＝－8a2－16ab－16b2＋8a－4＝－4（2a2＋4ab＋4b2－2a＋1）＝－4[（a2＋
4ab＋4b2）＋（a2－2a＋1）]＝－4[（a＋2b）2＋（a－1）2]。因为（a＋2b）2≥0、（a－1）
2≥0，所以 ≤0。又因为原方程有实数根，所以有 ≥0，所以 ＝－4[（a＋2b）2＋（a－
1）2]＝0，所以 a－1＝0 且 a＋2b＝0，所以 a＝1，b＝－
1
2。
∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆ ∆ ∆6
**14. 解：（1）证明：因为 ＝（2k＋1）2－4（k2＋k）＝4k2＋4k＋1－4k2－4k＝1＞0，
所以原方程必有两个不相等的实数根。（2）解：解 x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0 得 x＝k 或 k＋
1，则△ABC 的三边长分别为 k、k＋1、5，又因为△ABC 是等腰三角形，所以k＝k＋1（无解，
舍去）或 k＝5 或 k＋1＝5。当 k＝5 时，k＋1＝6，此时△ABC 的三边长为 5、5、6；当 k＋1
＝5 时，k＝4，此时△ABC 的三边长为 4、5、5。所以 k 的值为 k＝4 或 k＝5。
**15. 解：（1） ＝4－4（2k－4）＝20－8k，∵方程有两个不相等的实数根，∴ ＞
0，即 20－8k＞0，解得 k＜
5
2。
（2）∵k＜
5
2且 k 为正整数，∴k＝1 或 2。因为 x＝－1± 5－2k。要使方程的根为整
数，须使 5－2k 为有理数的完全平方数。当 k＝1 时，5－2k＝3；当 k＝2 时，5－2k＝1。∴k
＝2，此时 x＝0 或－2，均为整数，所以 k 的值为 2。
∆
∆ ∆
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