九年级数学上册专题突破讲练解决仰角俯角问题试题新版青岛版.doc

1 解决仰角、俯角问题 仰角、俯角 1. 铅垂线：重力线方向的直线； 2. 水平线：垂直于铅垂线的直线； 3. 仰角：视线在水平线上方的角叫做仰角； 4. 俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角。 方法归纳： （1）仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧 记为“上仰下俯”； （2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用， 注意确定水平线。 总结： 1. 能够分清仰角和俯角，正确解答与仰角和俯角有关的三角函数问题。 2. 在测量物体的高时，要善于将实际问题抽象为数学问题。 例题 我国为了维护对钓鱼岛（点 P）的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航。 在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛 20km 的 A 处时， 飞机在 B 处测得轮船的俯角是 45°；当轮船航行到 C 处时，飞机在轮船正上方的 E 处，此 时 EC＝5000m。轮船到达钓鱼岛 P 时，测得 D 处的飞机的仰角为 30°。试求飞机的飞行距离 BD（结果保留根号）。 解析：作 AF⊥BD，PG⊥BD，在 Rt△ABF 和△PDG 中分别求出 BF、GD 的值，由 BF＋FG＋ DG 求 BD 的长。 答案：作 AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为 F、G，由题意得：AF＝PG＝CE＝5000m，FG＝AP ＝20km，在 Rt△AFB 中，∠B＝45°，则∠BAF＝45°，∴BF＝AF＝5。 ∵AP∥BD，∴∠D＝∠DPH＝30°，在 Rt△PGD 中，tan∠D＝ GP GD，即 tan30°＝ 5 GD， ∴GD＝5 3，则 BD＝BF＋FG＋DG＝5＋20＋5 3＝25＋5 3（km）。 A O B C D 铅 垂 线 仰角 俯角 水平线 视线 视线2 答：飞机的飞行距离 BD 为 25＋5 3km。 点拨：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三 角形，然后解直角三角形，虽然难度一般，但非常具有代表性。 用三角函数测量建筑物的高度，常见类型如下： （1） h tanα＝l，h＝l·tanα； （2） h tanα－ h tanβ＝l，h＝ tanβ－tanα tanα·tanβl； （3） h tanα＋ h tanβ＝l，h＝ tanα＋tanβ tanα·tanβl。 满分训练 阅读材料： 关于三角函数还有如下的公式： sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ；tan（α±β）＝ tanα ± tanβ 1tanα·tanβ 。 利用 这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值。例： tan15°＝tan（45°－30°）＝ tan45°－tan30° 1＋tan45°·tan30°＝ 1－ 3 3 1＋1 × 3 3 ＝ 3－ 3 3＋ 3＝2－ 3。 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面的问题： （1）计算：sin15°； （2）乌蒙铁塔是六盘水市的标志性建筑物之一（图 1），小华想用所学知识来测量该铁 塔的高度，如图 2，小华站在离塔底 A 距离 7 米的 C 处，测得塔顶的仰角为 75°，小华的眼 睛离地面的距离 DC 为 1.62 米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度。（精确到 0.1 米，参考数 据： 3＝1.732， 2＝1.414）。 A BC ¦ Á h l A BC ¦ Á h l D ¦ Â A BC ¦ Á h l D¦ Â 图1 图2 图33 解 析 ： （ 1 ） 把 15° 化 为 45° － 30° 以 后 ， 再 利 用 公 式 sin （ α±β ） ＝ sinαcosβ±cosαsinβ 计算，即可求出 sin15°的值；（2）先根据锐角三角函数的定义 求出 BE 的长，再根据 AB＝AE＋BE 计算塔高。 答案：（1）sin15°＝sin（45°－30°）＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝ 2 2 × 3 2 － 2 2 × 1 2＝ 6 4 － 2 4 ＝ 6－ 2 4 ； （2）在 Rt△BDE 中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝75°，DE＝AC＝7 米， ∴BE＝DE•tan∠BDE＝DE•tan75°。 ∵tan75°＝tan（45°＋30°） ＝ tan45°＋tan30° 1－tan45°•tan30°＝ 1＋ 3 3 1－1 × 3 3 ＝ 3＋ 3 3－ 3＝2＋ 3， ∴BE＝7（2＋ 3）＝14＋7 3，∴AB＝AE＋BE＝1.62＋14＋7 3≈27.7（米）。 答：乌蒙铁塔的高度约为 27.7 米。 点拨：本题考查了解直角三角形的应用－仰角、俯角问题，以及特殊角的三角函数值的 应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解。 （答题时间：30 分钟） 一、选择题 1. 如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋高楼顶部 B 的仰角为 30°，看这栋高 楼底部 C 的俯角为 60°，热气球 A 与高楼的水平距离为 210m，这栋高楼 BC 的高度为（ ） A. 70 3m B. 210 3m C. 280 3m D. 160 3m4 **2. 如图，测量队为了测量某地区山顶 P 的海拔高度，选 M 点作为观测点，从 M 点测量 山顶 P 的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为 30°，在比例尺为 1：50000 的 该地区的等高线地形图上，量得这两点的图上距离为 6 厘米，则山顶 P 的海拔高度为（ ） A. 1732 米 B. 1982 米 C. 3000 米 D. 3250 米 **3. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高 15 米，从 A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物 的墙角 C 点 ，且俯角 α 为 60º，又从 A 点测得 D 点的俯角 β 为 30º，若旗杆底点 G 为 BC 的中点，则矮建筑物的高 CD 为（ ） A. 20 米 B. 10 3米 C. 15 3米 D. 5 6米 **4. 如图，在一个房间内，有一把梯子 MC 斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离 MA 为 a 米，此时梯子的倾斜角为 75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子 的顶端距地面的垂直距离 NB 为 b 米，梯子的倾斜角为 45°，则这间房子的宽 AB 为（ ） A. a + b 2 米 B. a－b 2 米 C. b 米 D. a 米 二、填空题 5. 九年级三班的小亮同学学习了“测量物体的高度”这节课后，他为了测得如图所放风 筝的高度，进行了如下操作： （1）在放风筝的点 A 处安置测倾器，测得风筝 C 的仰角∠CBD＝60°；5 （2）根据手中剩余的线的长度求出风筝线 BC 的长度为 70 米； （3）量出测倾器的高度 AB＝1.5 米 。根据测量数据，计算出风筝的高度 CE 约为 __________米。（精确到 0.1 米， 3≈1.73） 6. 如图 1 所示，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，另一端系一个小重物，制成 简单的测角仪，若细线正好和 60°重合，则此时的仰角 α 是__________°，若细线所在位 置刻度模糊，请在图 2 中添加一条直线，就能求出此时的仰角 α。 *7. 某校研究性学习小组测量学校旗杆 AB 的高度，如图在教学楼一楼 C 处测得旗杆顶部 的仰角为 60，在教学楼三楼 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30，旗杆底部与教学楼一楼在 同一水平线上，已知每层楼的高度为 3 米，则旗杆 AB 的高度为__________米。 **8. 如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 米/分的速度沿 与地面成 75°角的方向飞行，25 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的 俯角为 30°，则小山东西两侧 A、B 两点间的距离为__________米。 三、解答题6 9. 国家海洋局将中国钓鱼岛的最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡 航。如图 1，在一次巡航过程中，巡航飞机的飞行高度为 2001 米，在点 A 测得高华峰顶 F 点的俯角为 30°，保持方向不变前进 1200 米到 达 B 点后测得 F 点的俯角为 45°，如图 2。 请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米。（结果保留整数，参考数值： 3≈ 1.732， 2≈ 1.414） *10.（舟山中考）某学校的校门是伸缩门（如图 1），伸缩门中的每一行菱形有 20 个，每 个菱形边长为 30 厘米。校门关闭时，每个菱形的锐角度数为 60°（如图 2）；校门打开时， 每个菱形的锐角度数从 60°缩小为 10°（如图 3） 。问：校门打开了多少米？（结果精确 到 1 米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736， cos10°≈0.9848）。 *11. 小强在教学楼的点 P 处观察对面的办公大楼。为了测量点 P 到对面办公大楼上部 AD 的距离，小强测得办公大楼顶部点 A 的仰角为 45°，测得办公大楼底部点 B 的俯角为 60°， 已知办公大楼高 46 米，CD＝10 米。求点 P 到 AD 的距离（用含根号的式子表示）。 *12. 小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在 A 处（如图）， 为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作： 第一步：小亮在测点 D 处用测角仪测得仰角∠ACE＝β。 第二步：小红量得测点 D 处到树底部 B 的水平距离 BD＝a。 第三步：量出测角仪的高度 CD＝b。 之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和7 折线统计图。 请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题。 （1）把统计图中的相关数据填入相应的表格中： a b β 第一次 第二次 第三次 平均值 （2）根据表中得到的样本平均值计算出风筝的 高度 AB（参考数据： 3≈1.732， 2 ≈1.414，结果保留 3 个有效数字）。8 1. C 解析：过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D。在 Rt△ABD 中，∵∠BAD＝30°，AD＝210m，∴BD ＝AD•tan30°＝210× 3 3 ＝70 3m。在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝60°，AD＝210 m，∴CD＝ AD•tan60°＝210× 3＝210 3m，∴BC＝BD ＋CD＝70 3＋210 3＝280 3m，故选 C。 2. B 解析：∵两点的图上距离为 6 厘米，比例尺为 1：50000，∴两点间的实际距离为： 6÷ 1 50000＝3000 米，∵从 M 点测量山顶 P 的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角） 为 30°，∴MP＝3000×tan30°＝3000× 3 3 ＝1732 米，∵点 M 的海拔为 250 米，∴山顶 P 的海拔高度为＝1732＋250＝1982 米。故选 B。 3. A 解析：根据题意可知：GE∥AB∥CD，BC＝2GC，GE＝15 米，AB＝2GE＝30 米。过点 D 作 DF 垂直于过 A 点的水平线于点 F，则 AF＝BC＝AB÷tan∠ACB＝30÷ 3＝10 3米，DF＝ AF•tan30º＝10 3× 3 3 ＝10 米，CD ＝AB－DF＝30－10＝20 米。 4. D 解析：过 N 点作 MA 的垂线，垂足为点 D，连接 NM。∵∠MCN＝180°－∠MCA－∠NCB ＝180°－75°－45°＝60°，MC＝NC，∴△MNC 是等边三角形，∴MN＝MC，∠MNC＝60°。∠ MND＝∠MNC－∠DNC，而∠DNC＝∠NCB＝45°，∴∠MND＝60°－45°＝15°。在 Rt△MND 中， DN＝MNcos∠MND＝MNcos15°。在 Rt△MCA 中，∵∠MCA＝75°，∴∠AMC＝15°，∴AM＝MCc os15°。∴AB＝DN＝AM＝a（米）。本题也可证明△MND≌△CMA。 5. 62.1 解析：在 Rt△CBD 中，DC＝BC•sin60°＝70× 3 2 ≈60.55。∵AB＝1.5，∴CE＝ 60.55＋1.5≈62.1（米）。 6. 30°，如图所示：作线段 BA 关于 BC 的对称线段，对称线段所在的直线即是需要添加 的直线，读出∠ABF 的度数，α＝90°－ 1 2∠ABF。（也可过点 B 作 AC 的平行线）9 7. 9 解析：过 B 作 BE⊥CD 于点 E，设旗杆 AB 的高度为 x，在 Rt△ABC 中，tan∠ACB＝ AB AC，所以 AC＝ AB tan∠ACB＝ x tan60°＝ x 3＝ 3 3 x，在 Rt△BDE 中，BE＝AC＝ 3 3 x，∠BDE＝ 60°，tan∠BDE＝ BE DE，所以 DE＝ BE tan∠BDE＝ 1 3x，因为 CE＝AB＝x，所以 DC＝CE－DE＝x－ 1 3x ＝6，所以 x＝9，故旗杆的高度为 9 米。 8. 750 2 解析：如图（略），过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，在 Rt△ACD 中，∠ACD＝75° －30°＝45°，AC＝30×25＝750（米），∴AD＝AC•sin45°＝375 2（米）。在 Rt△ABD 中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750 2（米）。 9. 解：设 CF＝x，在 Rt△ACF 和 Rt△BCF 中，∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，∴BC＝CF＝ x， CF AC＝tan30°，即 AC＝ 3x，∵AC－BC＝1200，∴ 3x－x＝1200，解得：x＝600（ 3＋ 1），则 DF＝h－x＝2001－600（ 3＋1）≈362（米）。答：钓鱼岛的最高海拔高度约 362 米。 10. 解：如题图，校门关闭时，取其中一个菱形 ABCD。根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝ 0.3 米。∵ 在菱形 ABCD 中，AB＝AD，∴△BAD 是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3 米，∴大门的 宽是 0.3×20≈6（米）；校门打开时，取其中一个菱形 A1B1C1D1。根据题意，得∠B1A1D1＝10°， A1B1＝0.3 米。∵在菱形 A1B1C1D1 中，A1C1⊥B1D1，设 A1C1 与 B1D1 相交于点 O1，则∠B1A1O1＝ 5°，∴在 Rt△A1B1O1 中，B1O1＝sin∠B1A1O1•A1B1＝sin5°×0.3＝0.02616（米），∴B1D1＝ 2B1O1＝0.05232 米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464 米。∴校门打开的宽度为：6－ 1.0464＝4.9536≈5（米）。故校门打开了 5 米。 11. 解：延长 BC 交 PM 于点 E，在 Rt△BEP 中，∠BPE＝60°∴BE＝PE·tan60°＝ 3PE。 在 Rt△AMP 中，∠APM＝45°，∴AM＝PM＝PE＋EM＝PE＋CD＝PE＋10。又楼高＝AM＋BE，∴PE ＋10＋ 3PE＝46，∴PE＝18（ 3－1），∴PM＝PE＋EM＝18（ 3－1）＋10＝18 3－8，即 点 P 到 AD 的距离为（18 3－8）米。 12. 解：（1）填写表格如图： a b β 第一次 15.71 1.31 29.5° 第二次 15.83 1.33 30.8° 第三次 15.89 1.32 29.7° 平均值 15.81 1.32 30° （2）过 C 作 CE⊥AB 于 E，则四边形 EBDC 是矩形，∴CE＝BD＝a，BE＝CD＝b，在 Rt△AEC 中，∵β＝30°，a＝15.81，∴AE＝BEtan30°＝15.81× 3 3 ≈9.128（米），则 AB＝AE＋EB ＝9.128＋1.32＝10.448≈10.4（米）。答：风筝的高度 AB 为 10.4 米。