九年级数学上册专题突破讲练巧添辅助线证相似三角形试题新版青岛版.doc

1 巧添辅助线证相似三角形 一、添加平行线构造“A”、“8”型 1. 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形 与原三角形相似。 （1）定理的基本图形： （2）燕尾图形辅助线的添加方法 注意： （1）选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系； （2）一般会出现两组三角形相似，注意相似三角形的对应边； （3）通过线段比例之间的等量代换求解。 2. 方法归纳： （1）遇燕尾，作平行，构造“A”字“8”字一般行。 （2）引平行线应注意以下几点： ①选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，以同一直线的线段的端点作 为引平行线的点。 ②引平行线时，不破坏已知条件中的数量关系，尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 二、作垂线构造相似直角三角形 1. 基本图形 2. 所用知识点 （1）等量代换——等角的余角相等。 G F E D CB A G F E D CB A G F E D CB A D E FCB A2 （2）相似三角形对应高线的比等于相似比。 注意： （1）相似三角形中对应边要找准。 （2）利用高线解决问题，一般会用到设未知数，列方程的思想。 例题 平行四边形 ABCD 中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证： 。 解析：作 BM⊥AC 于点 M，可证△ABM∽△ACE，则 AB•AE＝AM•AC，易得△BCM∽△CAF， 则 BC•AF＝CM•AC，故得出结论。 答案：作 BM⊥AC 于点 M，则∠AMB＝∠AEC＝90°， ∵∠BAM＝∠CAE，∴△ABM∽△ACE， ∴AB•AE＝AM•AC， ∵∠BCM＝∠CAF，易得△BCM∽△CAF， ∴BC•AF＝CM•AC， ∴ 。 ∵AD＝BC， ∴ 。 点拨：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，注意辅助线的添加。 【总结提高】 本节所讲授内容中，主要考查添加辅助线构造相似三角形来解决线段、角度之间的关系。 需注意以下四点： （1）添加辅助线的原则； （2）构造出的基本模型； （3）相似三角形中的对应关系。 （4）复杂问题中等量代换的灵活应用。 例题 用一根手指顶住一个平面图形内的某点，如果平面图形能保持平衡，那么这个点 叫这个平面图形的重心，平行四边形的重心是对角线的交点，三角形的重心是三条中线的交 点。请你用下图证明三角形的重心分一条中线所成的两条线段的比为 1：2，即在△ABC 中， BE，CD 是两条中线，它们交于 G，求证：DG：CG＝EG：BG＝1：2。 2· ·AB AE AD AF AC=＋ ( ) 2• • • •AB AE BC AF AM AC CM AC AC AM CM AC+ = + = + = 2· ·AB AE AD AF AC=＋3 解析：连接 AG，交 DE 于点 H，延长 AG 交 BC 于点 F。根据三角形中位线定理得到 ，则 F。通过△HEG∽△FBG 的对应边成比例证得结论。 答案：如图，连接 AG，交 DE 于点 H，延长 AG 交 BC 于点 F。 ∵点 G 是△ABC 的重心， ∴点 F 是BC 的中点。 ∴BF＝FC。 ∵D、E 是 AB、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE∥BC， ， ∴HE∥BF， F。 ∴△HEG∽△FBG， ∴ ，即 EG：BG＝1：2 同理 DG：CG＝1：2。 ∴ 。 点拨：本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造三角形的中位线和相似三角 形是解题的关键，也是本题的难点。本定理要求学生能记住，并熟练应用。 （答题时间：30 分钟） 一、选择题 *1.（绥化）如图 ，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 上的一点，DE：EC＝2：3，连接 AE、 1 2DE BC= 1 2HE BE= 1 2DE BC= 1 2HE BE= 1 2 GE HE GB BF = = 12DG CG EG BG= =: : :4 BE、BD，且 AE、BD 交于点 F，则 （　　） A. 2：5：23 B. 4：9：24 C. 2：3：5 D. 4：10：25 **2. 如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、BC 的中点，点 G、H 在 DC 边上，且 。若 AB＝15，BC＝16，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 4 0 B. 60 C. 80 D. 70 **3. 如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、C D 于点 P、Q。求 BP：PQ：QR＝（ ）。 A.3：1：2 B. 5：3：4 C. 6：5：4 D. 4：1：2 **4. 如图，在△ABC 中，D 为 AC 上一点，CD＝2DA，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，CE⊥BD 于 E，连接 AE，过 E 作 EF∥CD 交 BC 于 F。下列结论：①BE＝EC；②BC2＝AC•DC；③S△BEC： S△BEA＝2：1；④ ；⑤ 。其中正确结论的个数有（　　） A. 2 个 　 B. 3 个 　 C. 4 个 　 D. 5 个 二、填空题 **5.（武清区一模）如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点 P 为 BC 上任意 一点，连接 PA，以 PA，PC 为邻边作平行四边形 PAQC，连接 PQ，则 PQ 的最小值为　 　。 : :∆ ∆ ∆ =DEF EBF ABFS S S 1 3GH DC= 2EF AD= 2 6 4sin BCA +∠ =5 **6. 如图，Rt△ABC 中，AC⊥BC，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AD 交 AB 于点 E，M 为 AE 的中点，BF⊥BC 交 CM 的延长线于点 F，BD＝4，CD＝3。下列结论：①∠AED＝∠ADC；② ；③AC•BE＝12；④3BF＝4AC，其中结论正确的是　 。 **7. （温州一模）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以点 C 为圆心作弧，分别交 AC、 CB 的延长线于点 D、F，连结 DF，交 AB 于点 E，已知 ，tan∠DFC＝ 2，则 BC＝　 　， ＝　 　。 **8.（嘉兴）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC。点 D 是 AB 的中点，连接 CD， 过点 B 作 BG 丄 CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连 接 DF。给出以下四个结论：① ；②点 F 是 GE 的中点；③ ；④ ，其中正确结论的序号是　 　。 3 4 DE DA = 9 40，∆ ∆= =BEF CDFS S ∆ABCS AG FG AB FB = 2 3AF AB= 5∆ ∆=ABC BDFS S6 三、解答题 9. 如图，AB 为半圆的直径，D 为 AB 上一点，分别在半圆上取点 E、F，使 EA＝DA，FB＝ DB，过 D 作 AB 的垂线，交半圆于 C。 求证：CD 平分 EF。 *10. 在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3。 （1）如图 1，四边形 DEFG 为△ABC 的内接正方形，求正方形的边长； （2）如图 2，三角形内并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC， 求正 方形的边长； （3）如图 3，三角形内并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正 方形的边长； （4）如图 4，三角形内并排的 n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正 方形的边长。 **11. （丰台区二模）阅读下列材料： 已知：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P 为 AC 边上的一动点，以 PB，PA 为边构造平行四边形 ，求对角线 PQ 的最小值及此时 的值是多少。 在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两 条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短。进而，小明构造出了如图 2 的辅助线， APBQ AP AC7 并求得 PQ 的最小值为 3。参考小明的做法 ，解决以下问题： （1）继续完成阅读材料中的问题：当 PQ 的长度最小时， ＝　 　； （2）如图 3，延长 PA 到点 E，使 AE＝nPA（n 为大于 0 的常数）。以 PE，PB 为边作平行 四边形 ，那么对角线 PQ 的最小值为　 　，此时 ＝　 　； （3）如图 4，如果 P 为 AB 边上的一动点，延长 PA 到点 E，使 AE＝nPA（n 为大于 0 的 常数），以 PE，PC 为边作平行四边形 ，那么对角线 PQ 的最小值为　 　，此时 ＝　 　。 **12. 若已知：如图， AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为 B、D，AD 和 BC 相交于点 E， EF⊥BD，垂足为 F，我们可以证明 成立（不要求考生证明）。 若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，过点 E 作 EF∥AB 交 BD 于点 F，则： （1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出 间的关系式，并给出证明。 1 1 1 AB CD EF + = 1 1 1 AB CD EF + = AP AC PBQE AP AC PCQE AP AC , 和∆ ∆ ∆ABD BED BDCS S S8 1. D 解析：根据平行四边形的性质求出 DC＝AB，DC∥AB，求出 DE：AB＝2：5，根据相 似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF 和△ABF 的面积比，根据三角形的面积公式 求出△DEF 和△EBF 的面积比，即可求出答案。 2. D 解析：连接 EF，过 O 作 MN⊥DC 于 N，交 EF 于 M，求出四边形 DEFC 是矩形，推出 EF∥CD， EF＝CD＝15，证△EOF∽△GOH，推出 ，求出 ON＝2，OM＝6，根据阴影部分 的面积＝S 矩形 DEFC－S△EFO－S△HOG，分别求出，代入即可。 3. A 解析：由四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，可证得△PBC∽△RBE，继而 可 得 ， PB ＝ PR ， 又 由 点 R 为 DE 的 中 点 ， △PCQ∽△RDQ ， 可 得 ，继而可求得 BP：PQ：QR 的值。 4. C 解析：作 AH⊥BD 的延长线于 H，作 BG⊥CD 于 G，根据条件利用直角三角形的性质 求出∠EBA＝∠EAB，就可以得出 BE＝AE。由∠ECD＝∠EAD，得出 CE＝AE。可以得出①是正 确的，设参数利用勾股定理就可以求出 BC 的值 ，从而得出结论②；根据等底的两三角形面 积之比等于高之比，运用相似三角形的性质求出高的比就可以得出结论③；根据平行线的性 质得出三角形相似，根据性质求出 EF 与 AD 的数量关系，而得出结论④；根据三角函数值的 定义建立直角三角形， 用参数表示出相应边的值就可以求出结论⑤。 5. 解析：以 PA，PC 为邻边作平行四边形 PAQC，由平行四边形的性质可知 O 是 AC 中 点，PQ 最短也就是 PO 最短，所以应该过 O 作 BC 的垂线 P′O，然后根据△P′OC 和△ABC 相 似，利用相似三角形的性质即可求出 PQ 的最小值。解题的关键是作高线构造各种相似三角 形。 6. ①③④ 解析：①∠AED＝90°－∠EAD，∠ADC＝90°－∠DAC，∠E AD＝∠DAC；②易 证△ADE∽△ACD，得 DE：DA＝DC：AC＝3：AC，AC 不一定等于 4。③由①证△BED∽△BDA， 得 ，得 ＝12；④连接 DM，可证 DM∥BF∥ AC，得 FM：MC＝BD：DC＝4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解。 7. 解析：由在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，tan∠DFC＝2，可得 BE＝2BF，又由 S△BEF ＝9，即可求得 BF 与 B E 的长，然后过点 C 作 CH⊥DF 于点 H，设 DH＝h，可求得 h 的值，继 而由勾股定理求得 BC 的长；首先过点 D 作 DM⊥BC 于点 M，利用三角形的面积求得 DM 的长， 然后由相似三角形的对应边成比例，求得 AB 的长，继而求得答案。 8. ①③ 解析：根据题意首先易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与 BA ＝BC，继而证得 正确；由点 D 是 AB 的中点，易证得 BC＝2BD，由等角的余角相 等 ， 可 得 ∠DBE ＝ ∠BCD ， 即 可 得 ， 继 而 可 得 ； 即 可 得 ，又由等腰直角三角形的性质，可得 ，即可求得 ； 则可 得 。 3EF OM GH ON = = 1 2 PC BC RE BE = = 1 2 PQ PC PC QR DR RE = = = 12 5 AC DC AD ED BD BE == DCBDACBE ⋅=⋅ 987, 3 AG FG AB FB = 1 2AG AB= 1 2FG BF= 1 3AF AC= 2AC AB= 2 3AF AB= 6∆ ∆=ABC BDFS S9 9. 证明：如图，分 别过点 E、F 作 AB 的垂线，G、H 为垂足，连 FA、EB。 易知： 。 两式相减得： ，即 。 于是： 。 ∴DH＝GD。显然，EG∥CD∥FH。故 CD 平分 EF。 10. 解：（1）在图 1 中作 CN⊥AB，交 GF 于点 M，交 AB 于点 N。 在 Rt△ABC 中，∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5，CN＝ ， ∵GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∴ ， 设正方形边长为 x，则 ，∴x＝ ； （2）在图 2 中作 CN⊥AB，交 GF 于点 M，交 AB 于点 N。 ∵GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∴ ， 设每个正方形边长为 x，则 ， 2 2 2 2• •DB FB AB HB AD AE AG AB= = = =， ( )2 2 •DB AD AB HB AG=− ﹣ ( ) ( )• •DB AD AB AB HB AG− = − DB AD HB AG DB HB AD AG− = − − = −，或 12 5 CM GF CN AB = 12 5 12 5 5 x x− = 60 37 CM GF CN AB = 12 25 12 5 5 x x− =10 ∴x＝ ； （3）在图 3 中作 CN⊥AB，交 GF 于点 M，交 AB 于点 N， ∵GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∴ ， 设每个正方形的边长为 x，则 ， ∴x＝ ； （4）设每个正方形的边长为 x，同理得到： ，则 x＝ 。 11. 解：（1）如图 2， ∵四边形 APBQ 是平行四边形， ∴AP∥BQ，AP＝BQ。 ∵QP⊥AC，∠ACB＝90°， ∴∠APQ＝∠C＝90°。 ∴PQ∥BC。 ∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C＝90°， ∴四边形 PCBQ 是矩形。 ∴QB＝PC。 ∴AP＝PC。 ∴ 。 （2）如图 5， 60 49 CM GF CN AB = 12 35 12 5 5 x x− = 60 61 12 5 12 5 5 x nx− = 60 12 25n + 1 2 AP AC =11 由题意可知：当 QP⊥AC 时，PQ 最短。 ∵QP⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠C＝90°。∴PQ∥BC。 ∵四边形 PBQE 是平行四边形，∴EP∥BQ，EP＝BQ。 ∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C＝90°，∴四边形 PCBQ 是矩形。 ∴QB＝PC，PQ＝BC＝3。∴EP＝PC。 ∵AE＝nPA，∴ 。 ∴ 。 ∴ 。 （3）过点 C 作 CH⊥AB，垂足为 H，如图 6， 由题意可知：当 QP⊥AB 时，PQ 最短。 ∵QP⊥AB，CH⊥AB， ∴∠APQ＝∠AHC＝90°。 ∴PQ∥HC。 ∵四边形 PCQE 是平行四边形， ∴EP∥CQ，EP＝CQ。 ∵PH∥CQ，PQ∥HC，∠PHC＝90°， ∴四边形 PHCQ 是矩形。 ∴QC＝PH，PQ＝HC。 ∴EP＝PH。 ∵AE＝nPA， ∴ 。 ∴ 。 ( )1PC EP EA AP nPA AP n AP= = + = + = + ( ) ( )1 2AC AP PC AP n AP n AP= + = + + = + ( ) ( ) 1 2 2 AP AP AC n AP n = =+ + ( )1EP EA AP nPA AP n AP= + = + = + ( )2 2 1EH EP n AP= = +12 ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB＝5。 ∵∠HAC＝∠CAB，∠AHC＝∠ACB＝90°， ∴△AHC∽△ACB。 ∴ 。 ∵BC＝3，AC＝4，AB＝5， ∴ 。 ∴ ， 。 ∴ ， 。 ∴ 。 ∴ 。 ∴ 。 ∴ 。 12. 解：（1）成立。 证明：∵AB∥EF ∴ ∵CD∥EF ∴ ∴ ∴ ； （2 ）关系式为： 证明如下：分别过 A 作 AM⊥BD 于 M，过 E 作 EN⊥BD 于 N，过 C 作 CK⊥BD 交 BD 的延长 线于 K。 由题设可得： 1 1 1 AB CD EF + = AH HC AC AC CB AB = = 4 4 3 5 AH HC= = 16 5AH = 12 5HC = 12 5PQ HC= = 16 5EH AE AH nPA= + = + ( ) 162 1 5EH n AP nPA= + = + ( ) 162 2 5n n AP+ − = 16 5 10AP n = + ( ) 16 4 4 5 10 5 10 AP AC n n = =+ + EF DF AB DB = EF BF CD DB = 1EF EF DF BF DB AB CD DB DB DB + = + = = 1 1 1+ = ABD BDC BEDS S S△ △ △ 1 1 1+ =AM CK EN13 ∴ 即 又∵ BD•AM＝S△ABD， BD•CK＝S△BCD ， BD•EN＝S△BED ∴ 。 2 2 2+ =BD AM BD CK BD EN⋅ ⋅ ⋅ 1 1 1+ =1 1 1 2 2 2BD AM BD CK BD EN⋅ ⋅ ⋅ 1 2 1 2 1 2 1 1 1+ = △ △ △ABD BDC BEDS S S