九年级数学上册专题突破讲练特殊角的锐角三角函数值及其计算试题新版青岛版.doc

1 特殊角的锐角三角函数值 特殊角的三角函数值 三角函数 角度α sinα cosα tanα 30° 1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 3 方法归纳：（1）解有关等边三角形、等腰直角三角形及与 30°、45°、60°角相联系 的其他三角形问题时，常常要用特殊角的三角函数值。 （2）必须熟练掌握特殊角的三角函数值，既能由角求三角函数值，又能由三角函数值 求角。 （3）正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随锐角度数 的增大（或减小）而减小（或增大）。 总结： 1. 特殊角三角函数在计算及应用题里广泛使用，应理解概念并熟练应用。 2. 能够解决含特殊角的三角函数问题，并能根据三角函数值求角的度数。 例题 1 如图所示，已知直线 y＝ 3x＋ 3，求这条直线与 x 轴的夹角（锐角）。 解析：直线与 x 轴、y 轴相交围成一个直角三角形，然后根据直线与 x 轴、y 轴交点 坐标即可求解。 答案：设y＝ 3x＋ 3与 x 轴、y 轴交点为 A、B 两点，则 A（－1，0）、B（0， 3），∴OA ＝1，OB＝ 3．∴tan∠BAO＝ OB OA＝ 3，∴∠BAO＝60°。 答：直线与 x 轴夹角（锐角）为 60°。 点拨：本题关键利用 Rt△AOB 来求出 OA、OB，进而求出∠BAO 的正切值，最后求出度数， 是已知两边求度数的一种常用方法。 例题 2 已知：如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 AC 上一点 ，∠ABD＝∠C，直线 EF 过点 D，与 BA 的延长线相交于 F，且 EF⊥BC，垂足为 E。探索：设 AC AB＝t，若△ADF∽△EDB， 试求 t 的值。 x y O A B2 解析：t 的值就是△ABC 两边的比值，所以我们可以考虑通过相似三角形和其它特殊图 形求出 AC 与 AB 的数量关系，再求其比值。或者能求出∠ABC 或∠C 的度数也可以，因为∠BAC ＝90°，在直角三角形中利用三角函数求 t 值。 答案：∵∠BAC＝90°，EF⊥BC，∠ ADF＝∠CDE，∴∠F＝∠C。 ∵∠ABD＝∠C，∴∠F＝∠ABD。 ∵△ADF∽△EDB，∴∠F＝∠EBD，∴在 Rt△ABC 中，∠C＝ ∠ABD＝∠EBD，又∠C＋∠ABD ＋∠EBD＝90°，∴∠C＝∠ABD＝∠EBD＝30°，∴∠ABC＝60°。 ∴ AC AB＝tan∠ABC＝ 3，即 t＝ 3。 点拨：本题中 t 值是∠C 的正切值，所以需要求出∠C 的度数．要求一个角的度数，特 别是在没有已知度数的角的情况下，应考虑利用三角形内角和或特殊的三角形、四边形来求。 利用三角形内角和时，这三个内角必须具有倍分关系，才能转化成一元一次方程求出角的度 数，本题中是证明的三个角相等且和为 90°。 锐角三角函数是角的度数与线段的长度之间相互转化的重要工具，是解决三角形边角关 系的常用数学方法。在中考试题中对特殊角三角函数的考查有的直接考查，以填空题和选择 题的形式出现，一般比较容易；有的融入到其他知识或题型中间接考查，如三角形、四边形、 圆等，常以解答题、操作说明题、阅读题等形式出现，综合性较强，难度较。 满分训练 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°＝ 1 2，cos30°＝ 3 2 ，则 sin230°＋cos230°＝__________①； sin45°＝ ，cos45°＝ ，则 sin245°＋cos245°＝__________②； sin60°＝ 3 2 ，cos60°＝ 1 2，则 sin260°＋cos260°＝__________③； …… 观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A＋cos2A＝__________④。 （1）如图，在锐角三角形 ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜 想； A B C D E F 2 2 2 23 （2）已知：∠A 为锐角（cosA＞0）且 sinA＝ 3 5，求 cosA。 解析：（1）证明：过点 B 作 BD⊥AC 于 D，在 Rt△ADB 中，sinA＝ BD AB，cosA＝ AD AB，由勾 股定理得，BD2＋AD2＝AB2，∴（ BD AB）2＋（ AD AB）2＝ BD2 + AD2 AB2 ＝1，∴sin2A＋cos2A＝1；（2）∵∠ A 为锐角（cosA＞0），sinA＝ 3 5，sin2A＋cos2A＝1，∴cosA＝ 1－sin2A＝ 4 5。 点拨：本题属于阅读理解题，读懂题意，弄清题目所给的定义和规律是解答这类问题的 关键。比本题中可总结出同角的三角函数关系，sin2A＋cos2A＝1，类似的 还有 tanA＝ sinA cosA 等。 （答题时间：30 分钟） 一、选择题 1. 式子 2cos30°－tan45°－ （1－tan60°）2的值是（ ） A. 2 3 B. 0 C. 2 3 D. 2 2. 如图所示，矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 3，AC 与 BD 相交于 O，则 tan∠AOB 等于（ ） A. 3 B. 3 3 C. 1 D. 3 2 *3. 如图所示是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形、等腰直角三角形构成，如 果标有数字“13”的正方形的边长是 2，那么标有数学“2”的等腰直角三角形斜边的长是 （ ） A. 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 A B C A B C D O4 **4. 如图，在半径为 1 的⊙O 中，∠AOB＝45°，则 sinC 的值为（ ） A. 2 2 B. 2－ 2 2 C. 2＋ 2 2 D. 2 4 二、填空题 5. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝ 3 2 ；②cosB＝ 1 2； ③tanA＝ 3 3 ；④tanB＝ 3，其中正确的结论是__________（只需填上正确结论的序号）。 *6. △ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边。已知 a＝ 10，b＝ 3＋ 2，c＝ 3－ 2，则 bsinB＋csinC 的值是__________。 *7. 如图，Rt△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D，若 BD：CD＝3：2，则 tanB＝ __________。 **8. 如图所示，已知 l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形 ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则 sinα 的值是__________。 三、解答题 A B C l1 l2 l3 ¦ Á 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 135 9. 已知 a 是锐角，且 sin（α＋15°）＝ 3 2 ，计算 8－4cosα－（π－3.14）0＋tanα ＋） 1 3） −1 的 值。 **10. 对于钝角 α，定义它的三角函数值如下： sinα＝sin（180°－α），cosα＝－cos（180°－α）。 （1）求 sin120°，cos120°，sin150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是 1：1：4，A、B 是这个三角形的两个顶点，sinA、 cosB 是方程 4x2－mx－1＝0 的两个不相等的实数根，求 m 的值及∠A 和∠B 的大小。 **11.如图，风车的支杆 OE 垂直于桌面，风车中心 O 到桌面的距离 OE 为 25cm，小小风车 在风吹动下绕着中心 O 不停地转动，转动过程中，叶片端点 A、B、C、D 在同一圆 O 上，已 知⊙O 的半径为 10cm。 （1）风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点 A 到桌面的距离（结果保留根号）。 （2）在风车转动一周的过程中，求点 A 相对于桌面的高度不超过 20cm 所经过的路径长 （结果保留 π）。 **12. 现场学习：我们知道，若锐角 α 的三角函数值为 sinα＝m，则可通过计算器得到 角 α 的大小，这时我们用 arc sin m 来表示 α，记作：α＝arc sin m；若 cos α ＝m，则记 α＝arc cos m；若 tan α＝m，则记 α＝arc tan m。 解决问题：如图，已知正方形 ABCD，点 E 是边 AB 上一动点，点 F 在 AB 边或其延长线 上，点 G 在边 AD 上。连接 ED、FG，交点为 H。 （1）如图 1，若 AE＝BF＝GD，请直接写出∠EHF＝__________°； （2）如图 2，若 EF＝ 2 5CD，GD＝ 2 5AE，设∠EHF＝α。请判断当点 E 在 AB 上运动时，∠EHF 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出 α。 A B C D E F G H 图1 A B C D E F G H 图26 1. B 解析：原式＝2× 3 2 －1－（ 3－1）＝ 3－1－ 3＋1＝0．故选 B。 2. A 解析：因为 ABCD 是矩形，所以 AO＝BO，则∠OAB＝∠OBA。∵AB＝1，BC＝ 3， ∴tan∠CAB＝ 3，∴∠CAB＝60°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°。∴∠AOB＝180°－60°－60° ＝60°，tan∠AOB＝tan60°＝ 3。故选 A。 3. B 解析：可利用勾股定理或三角函数从标有“13”的正方形开始倒序计算至标有“2” 的等腰直角三角形的斜边长。 4. B 解析：过点 A 作 AD⊥OB 于点 D，∵在 Rt△AOD 中，∠AO B＝45°，∴OD ＝AD＝ OA•cos45°＝ 2 2 ×1＝ 2 2 ，∴BD＝OB－OD＝1－ 2 2 ，∴AB＝ AD2 + BD2＝ 2－ 2，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°，AC＝2，∴sinC＝ AB AC＝ 2＋ 2 2 ，故选 B。 5. ②③④ 解析：∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sinA＝ BC AB＝ 1 2，故①错误； ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴cosB＝cos60°＝ 1 2，故②正确；∵∠A＝30°，∴tanA＝tan30° ＝ 3 3 ，故③正确；∵∠B＝60°，∴tanB＝tan60°＝ 3，故④正确。 6. 10 解析：不难验证，a2＝b2＋c2，所以△ABC 是直角三角形，其中 a 是斜边，bsinB ＋csin C＝b· b a＋c· c a＝ c2＋b2 a ＝ a2 a ＝a＝ 10。 7. 6 3 解析：在 Rt△ABC 中，∵AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB＝∠CDA，∵∠B＋∠BAD＝ 90°，∠BAD＋DAC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△ABD∽△ACD，∴ BD AD＝ AD DC，∵BD：CD＝3：2， 设 BD＝3x，CD＝2x，∴AD＝ 3x·2x＝ 6x，则 tanB＝ AD BD＝ 6x 3x ＝ 6 3 。 8. 10 10 解析：分别过点 A、B 作 AE⊥l1，BF⊥l1，易得△AEC≌△CFB（AAS），设平行线 间距离为 d＝1，∴CE＝BF＝1，AE＝CF＝2，AC＝BC＝ 5，AB＝ 10，则 sinα＝ d AB＝ 1 10＝ 10 10 。 A B C l1 l2 l3 ¦ Á E F7 9. 解析：∵sin（α＋15°）＝ 3 2 ，∴α＋15°＝60°，∴α＝45°。当α＝45°时， 原式＝2 2－4×cos45°－1＋tan45°＋3＝2 2－2 2－1＋1＋3＝3。 10. 解：（1）由题意得，sin120°＝sin（180°－120°）＝sin60°＝ 3 2 ，cos120°＝－ cos（180°－120°）＝－cos60°＝－ 1 2，sin150°＝sin（180°－150°）＝sin30°＝ 1 2； （2）∵三角形的三个内角的比是 1：1：4，∴三个内角分别为 30°、30°、120°，①当∠A ＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为 1 2和－ 1 2，将 1 2代入方程得：4×（ 1 2）2－m× 1 2－1＝0， 解得：m＝0，经检验－ 1 2是方程 4x2－1＝0 的根，∴m＝0 符合题意；②当∠A＝120°，∠B＝ 30°时，两根均为 3 2 ，不符合题意；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为 1 2和 3 2 ，将 1 2代 入方程得：4×（ 1 2）2－m× 1 2－1＝0，解得：m＝0，经检验 3 2 不是方程 4x2－1＝0 的根。综 上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°。 11. 解：（1）当∠AOE＝45°时，过点 A 作 AF⊥OE 于 F ，则 OF＝OA·cos∠AOE＝10× 2 2 ＝5 2cm；（2）过点 A 作 AG⊥OE 于 G，交⊙O 于另一点 H。∵OE＝25cm，∴当 OG＝5cm 时 点 A 到桌面的距离正好是 20cm。在 Rt△OAG 中，OG＝5cm，OA＝10cm，即 sin∠OAG＝ OG OA＝ 5 10 ＝ 1 2，∴∠OAG＝30°，∠AOG＝60°，∴∠AOH＝120°。在扇形 OAH 中，劣弧 ︵ AH的长度＝ 120π × 10 180 ＝ 20 3 π（cm） 。即风车转动一周，点 A 相对于桌面的高度不超过 20cm 所经过 的路径长为 20 3 πcm。 12. 解：（1）45° 提示：连接 FC、GC，则△ADE≌ △BCF≌△DCG，从而 DE∥FC，△CGF 是等腰直角三角形，所以∠EHF＝∠GFC＝45°。 （2）不会变化。证明：如图 2，过点 F 作 FＭ∥ED 交 CD 于Ｍ，连接 GＭ。∵正方形 ABCD 中，AB∥CD，∴四边形 EFMD 为平行四边形。∴EF＝ DM ，DE＝FM。∴∠EDC＝∠FMC，∠EHF＝ A B C D E F G H 图1 A B C D E F G H 图2 M8 ∠HFM ＝α 。∵EF ＝ 2 5CD ，GD ＝ 2 5AE ，∴ EF CD＝ GD AE＝ 2 5。∴ DM AD＝ GD AE，∵∠A ＝∠GDM ＝90° ， ∴△DGM∽△AED。∴ GM DE＝ 2 5，∴ GM FM＝ 2 5。∵∠GDH＋∠MDH＝90°，∠GD H＝∠DMG，∠MDH＝ ∠CMF，∴∠DMG＋∠CMF＝90°，∴∠GMF＝90°。在Rt△GFM 中，tanα＝ GM FM＝ 2 5。∴α＝arc tan 2 5。