1
几何基本图形：一线三等角
1. 基本模型
注意：利用同角的余角相等证明△ACD∽△BEC
2. 模型扩展
（1）锐角
相似依据：运用三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和寻找相等的角度，得出两
个三角形相似并加以运用。
（2）钝角
注意：
（1）相似三角形中对应边要找准。
（ 2 ） 熟 练 记 忆 “ 一 线 三 等 角 ” 的 基 本 模 型 ， 根 据 三 角 形 相 似 可 得 ：
；
（3）此模型中共有三组相似三角形，一般考查△BED∽△CDF。
例题 （历城区三模）如图，在△ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF
与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运
~BDE CFD∆ ∆
BD DC EB CF= 2
动，且 DE 始终经过点 A，EF 与 AC 交于 M 点。
（1）若 BE=2，求 CM 的长；
（2） 探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出 BE 的长；
若不能，请说明理由；
（3）当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积。
解析：（1）由 AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC △DEF 与三角形外
角的性质，易证得∠CEM=∠B AE，则可证得△ABE∽△ECM，就有 ，即可以得出答
案；（2）分别从 AE=AM，AE=EM 与 AM=EM 去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质
求解即可求得答案；（3）首先设 BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，
易得 ，继而求得 AM 的值，利用二次函数的性质，即可
求得线段 AM 的最小值，继而求得重叠部分的面积。
答案：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）能。
当 AE=EM 时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
当 AM=EM 时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，
∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴ ，
≅
BA BE
EC CM
=
( )2
26 1 935 5 5 5
xCM x x= − + = − − +
BA BE
EC CM
=
5 2
4 CM
=
8
5CM =
CE AC
AC CB
=3
∴ = ，
∴ ；
当 AE=AM 时，此时 E 点与 B 点重合，M 点与 C 点重合，即 BE=0。
∴BE=1 或 或 0。
（3）设BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∴当 x=3 时，AM 最短为 ，
又∵当 时，
∴点 E 为 BC 的中点，
∴AE⊥BC，
∴ ，此时，EF⊥AC，
∴ ， 。
点拨：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的
最值问题。关键是利用“一线三等角”判断出两三角形相似。此题难度较大，注意数形结合
思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键。
【方法归纳】
1. 平面直角坐标系中，常作点到坐标轴的垂线，构造“一线三直角”。把点的坐标和线段
的长度建立联系，解决问题。
2. 矩形中的翻折问题发现“一线三等角”，常用方程的思想解决。
3. 动态几何中图形的存在性问题应注意分类讨论思想的应用，不重不漏。
例 题 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 一 张 矩 形 纸 片 按 图 所 示 放 置 。 已 知
， ，将这张纸片折叠，使点 落在边 上，记作点 ，折痕与边 （含
端点）交于点 ，与边 （含端点）或其延长线交于点 。
xOy OBCD
10OB = 6BC = O CD A OD
E OB F
2ACCE CB
=
6
25
25 116 6 6BE = − =
11
6
CM CE
BE AB
= 6
5
CM x
x
−=
( )2
26 1 935 5 5 5
xCM x x= − + = − − +
( )21 165 35 5AM CM x= − = − +
16
5
13 2BE x BC= = =
2 2 4AE AB BE= − =
2 2 12
5EM CE CM= − = 1 16 12 96
2 5 5 25AEMS = × × =
4
请回答：
（1）如图，若点 的坐标为 ，直接写出点 的坐标；
（2）将矩形沿直线 折叠，求点 的坐标；
解析：（1）利用折叠的性质，可得 AE=OE=4，根据勾股定理就可以求出线段 DA 的长；
（2）如图，根据 ，则 E 点的坐标为（0，n），F 点的坐标为（2n，0），OE=n，
OF=2n，由△AEF≌△OEF 可知 OE=AE=n，AF=OF=2n，得出△DEA∽△GAF 所以 ，由
FG=CB=6 解得 DA=3，从而求得 A 点的坐标。
答案：（1）点A 的坐标为
（2）如图，过点F 作 FG⊥DC 于 G
∵EF 的解析式为 ，
∴E 点的坐标为（0，n），
∴OE=n
∴F 点的坐标为（2n，0），
∴OF=2n
∵△AEF 与△OEF 全等，
∴OE=AE=n，AF=OF=2n
∵点 A 在 DC 上，且∠EAF=90°
∴∠1+∠3=90°
又∵∠3+∠2=90°
E (0 4)， A
1
2y x n= − + A
1
2y x n= − +
1
2y x n= − +
AE DA
FA GF
=
( )2 3,65
∴∠1=∠2
在△DEA 与△GAF 中，
∴△DEA∽△GAF
∴
∵FG=CB=6
∴
∴DA=3
∴A 点的坐标为（3，6）。
点拨：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，在矩形
折叠问题中要善于发现“一线三等角”的模型，并利用该知识点解决问题。
（答题时间：30 分钟）
一、选择题
1. （济南）已知直线 l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为 h，矩形 ABCD
的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则 tanα 的值等于（ ）
A. B. C. D.
*2.（温州）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片 ABCO 的顶点 C 的坐标为（0，8），沿
着直线 折叠纸片，使点 C 落在 OA 边上的点 F 处，折痕为 DE，则 b 等于 。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
*3. （苏州模拟）如图，在矩形 ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板 MPN 的直角顶点 P
在 BC 边上移动时，直角边 MP 始终经过点 A，设直角三角板的另一直角边 PN 与边 CD 相交于
点 Q。则 CQ 的最大值为（ ）
1 2
ADE AGF
∠ = ∠
∠ = ∠
AE DA
FA GF
=
2 6
n DA
n
=
2
3
3
4
4
3
3
2
1
2y x b= +6
A.4 B. C. D.
**4. （道里区一模）如图，△ABC 中，AB=5， BC=11， ，点 D 在 BC 上，
∠ADE=90°，∠DAE=∠ACB，ED=EC，AE 的长为（ ）
A. B.6 C. D.8
二、填空题
*5. （润州区二模）如图，点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线
上，且 OA⊥OB，∠A=30°，则 k 的值是 。
*6. （海南）直线 l1∥l2∥l3，且 l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3，把一块含有 45°
角的直角三角形如图放置，顶点 A，B，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线 l2 交于点 D，
则线段 BD 的长度为 。
**7. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=4AD= ，∠B=45°。直角三角板含 45°
角的顶点 E 在边 BC 上移动，一直角边始终经过点 A，斜边与 CD 交于点 F。若△ABE 为等腰
三角形，则 CF 的长等于 。
9
4
9
2
17
4
4
3tanB =
2 10 4 2
( )3 0y xx
= > ( )0ky xx
=
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