九年级数学上册专题突破讲练圆中辅助线添加技巧试题新版青岛版.doc

1 圆中辅助线添加技巧 1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。 说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。 方法依据：（垂径定理） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 2. 辅助线方法：连中点 说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。 方法依据：（垂径定理推论） ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 ②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 3 . 与切线有关的辅助线作法： （1）点已知，连半径，证垂直 说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后 证明直线垂直于这条半径。 （2）点未知，作垂直，证半径 说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离 （d）等于半径(r)。 （3）见切线，连半径，得垂直 说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。 方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 例题 1 ⊙O 的弦 AB、CD 相交于点 P，且 AC=BD。求证：PO 平分∠APD。 解析：由等弦 AC=BD 可得出弧 AC 等于弧 BD，进一步得出弧 AB 等于弧 CD，从而可证等2 弦 AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线 OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出 PO 平分∠A PD。 答案：证明：作 OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F ∵AC=BD ∴ ∴ ∴AB=CD ∴ ∴∠OPE=∠OPF ∴ PO 平分∠APD. 点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用 于垂径定理和勾股定理解决问题。 例题 2（鞍山一模）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作圆 O，与 BC 交 于点 E，过点 E 作 ED⊥AB，垂足为点 D。 求证：DE 为⊙O 的切线。 解析：连接 OE，根据等边对等角，由 AB=AC 得到∠B=∠C，再由半径 OC 与 OE 相等得到 ∠C=∠CEO，利用等量代换得到∠B=∠CEO，由同位角相等两直线平行，得到 AB 与 EO 平行， 再根据两直线平行内错角相等，由角 BDE 为直角得到角 DEO 为直角，又 OE 为圆 O 的半径， 根据切线的判断方法得到 DE 为⊙O 的切线。 答案：证明：连接 OE， ∵AB=AC，∴∠B=∠C  AC BD=  AB CD= OE OF OEP OFP OP OP = ∠ = ∠  =3 ∵OC=OE，∴∠C=∠CEO， ∴∠B=∠CEO，∴AB∥EO， ∵DE⊥AB，∴EO⊥DE， ∵EO 是圆 O 的半径， ∴D 为⊙O 的切线。 点拨：证明切线的方法有两种：有连接圆心与这点，证明夹角为直角；无点作垂线，证 明垂线段长等于半径。此题属于前一种情况。 【思路点拨】 几何证明中添加辅助线，其作用主要在于沟通“条件”和“结论”。具体来说，就是把 分散的条件集中。使隐蔽的条件显露。将复杂的问题化简，为推证创造条件，促成问题的最 终解决。 圆中的辅助线的画法比较多，具体的题应该选用怎样的辅助线，关键还是要充分地顺推 已知和逆推求证，配合恰当的辅助线找到已知和求证的衔接点。 例题 （合山市模拟）如图，大半圆 O 与小半圆 O1 相切于点 C，大半圆的弦 AB 与小半圆 相切于点 F，且 AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，则图中阴影部分的面积是（　　 ）cm2 A. B. C. D. 解析：将⊙O1 移动到 O1 与 O 重合，则 F 和 F′重合，连接 OB，得出阴影部分的面积是： S= （π×OB2－π×OF′2）－（S 扇形 AOB－S 三角形 AOB），求出 OF′⊥AB，由垂径定理求出 AF′=BF′=3cm，代入即可得出答案。 答案： 解：将⊙O1 移动到 O1 与 O 重合，则 F 和 F′重合，连接 OB，AO， ∵AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，AB 切⊙O1 于 F， ∴O1F⊥AB， ∴OF′⊥AB， ∴由垂径定理得：AF′=BF′=3cm， 在 Rt△BOF′中，BF′=3cm，BO= CD=6cm， 即 BF′= OB， ∵∠BOF′=30°，由勾股定理得：OF′= cm， 同理∠AOF′=30°， ∴∠AOB=60°， ∴阴影部分的面积是 S= （π×OB2－π×OF′2）－（S 扇形 AOB－S△AOB） 39 3 2 π− 99 3 2 π− 39 3 2 π+ 9 2 π 1 2 1 2 1 2 3 3 1 24 = π×（OB2－OF′2）－ + ×6× = π×BF′2－6π+9 = π×9－6π+9 =（9 － π）cm2。 故选 A。 点拨：本题考查了勾股定理，垂径定理，切线性质等知识点，解此题关键是得出阴影部 分的面积 S= （π×OB2－π×OF′2）－（S 扇形 AOB－S 三角形 AOB）= π×BF′2－（S 扇形 AOB －S 三角形 AOB），题目的综合性较强。 （答题时间：30 分钟） 一、选择题 1. （毕节地区）如图，已知⊙O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB的距离是（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. （娄底）如图，⊙O1、⊙O2 相交于 A、B 两点，两圆半径分别为 6cm 和 8cm，两圆的连 心线 O1O2 的长为 10cm，则弦 AB 的长为（　　） A. 4.8cm B. 9.6cm C. 5.6cm D. 9.4cm 3. （内江）如图，半圆 O 的直径 AB=10cm，弦 AC=6cm，AD 平分∠BAC，则 AD 的长为（　　） A. cm B. cm C. cm D. 4cm 1 2 260 6 360 π × 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 3 3 2 1 2 1 2 4 5 3 5 5 55 **4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，⊙O 为△ABC 的外接圆，AC=6cm，BC=8cm，P 为 BC 的中点。动点 Q 从点 P 出发，沿射线 PC 方向以 2cm/s 的速度运动，以 P 为圆心，PQ 长为 半径作圆。设点 Q 运动的时间为 t s。若⊙P 与⊙O 相切，则 t 的值是（　　） A. t=1 B. t=3 C. t=2 或 t=3 D. t=1 或 t=4 **5.（日照三模）如图，AB 是半圆的直径，点 C 是弧 AB 的中点，点 E 是弧 AC 的中点， 连接 EB，CA 交于点 F，则 =（　　） A. B. C. D. 二、填空题 6. （南京）如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，连接 BC，若 AB=2 cm，∠BCD=22°30′，则⊙O 的半径为　 　cm。 7. （自贡）一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与⊙O 等高，如图放置，⊙O 与 BC 相切于 点 C，⊙O 与 AC 相交于点 E，则 CE 的长为　 　cm。 *8.（高淳县一模）如图，半径为 2 的两 个等圆⊙O1 与⊙O2 外切于点 P，过 O1 作⊙O2 的两 条切线，切点分别为 A、B，与⊙O1 分别交于 C、D，则弧 APB 与弧 CPD 的长度之和为　 　。 EF BF 1 3 1 4 21 2 − 2 1 2 − 26 **9.（温州）如图，在矩形 ABCD 中，AD=8，E 是边 AB 上一点，且 AE= AB。⊙O 经过点 E，与边 CD 所在直线相切于点 G（∠GEB 为锐角），与边 AB 所在直线交于另一点 F，且 EG︰EF= ︰2。当边 AD 或 BC 所在的直线与⊙O 相切时，AB 的长是　 　。 三、解答题 10.（宜宾）已知：在△ABC 中，以 AC 边为直径的⊙O 交 BC 于点 D，在劣弧 上取一点 E 使∠EBC=∠DEC，延长 BE 依次交 AC 于点 G，交⊙O 于 H。 （1）求证：AC 丄 BH； （2）若∠ABC=45°，⊙O 的直径等于 10，BD=8，求 CE 的长。 *11. （浦东新区二模）已知：如图，∠PAQ=30°，在边 AP 上顺次截取 AB=3cm， BC=10cm，以 BC 为直径作⊙O 交射线 AQ 于 E、F 两点，求： （1）圆心 O 到 AQ 的距离； （2）线段 EF 的长。 1 4 5 AD ∩7 **12. （上海）如图 1，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB= ，点 P 是边 BC 上的动点，以 CP 为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E、F（点 F 在 点 E 的右侧），射线 CE 与射线 BA 交于点 G。 （1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长； （2）连接 AP，当 AP∥CG 时，求弦 EF 的长； （3）当△AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长。 4 58 一、 1. B 解：过 O 作 OC⊥AB 于 C， ∴AC=BC= AB=12， 在 Rt△AOC 中，由勾股定理得：OC= =5。 故选 B。 2. B 解：连接 AO1，AO2。 ∵⊙O1，⊙O2 相交于 A、B 两点，两圆半径分别为 6cm 和 8cm，两圆的连心线 O1O2 的长 为 10cm， ∴O1O2⊥AB， ∴AC= AB， 设 O1C=x，则 O2C=10－x， ∴62－x2=82－（10－x）2， 解得：x=3.6， ∴AC2=62－x2=36－3.62=23.04， ∴AC=4.8cm， ∴弦 AB 的长为 9.6cm。 故选 B。 3. A 解：连接 OD，OC， 作 DE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， ∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质）， ∴ = ， ∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD， ∴△AOF≌△ODE， ∴OE=AF= AC=3（cm）， 在 Rt△DOE 中，DE= =4（cm）， 1 2 2 213 12− 1 2 CD ∩ BD ∩ 1 2 2 2OD OE−9 在 Rt△ADE 中，AD= =4 （cm）。 故选 A。 4. D 解：作直线 OP 交⊙O 于 M 和 N， 根据相切两圆的连心线过切点可得 M、N 为切点， ①如图 1， ∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：AB=10cm， 即⊙O 的半径是 5cm， ∵O 为 AB 中点，P 为 BC 中点， ∴OP= AC=3cm， ∴PM=OM－OP=5cm－3cm=2cm， 即 PQ=2；时间 t=2÷2=1（s）； ②如图 2， PN=ON+OP=5cm+3cm=8cm， PQ=PN=8cm， 时间 t=8÷2=4（s）。 故选 D。 5. D 解：连接 OE、BC，OE 与 AC 交于点 M。 ∵E 为弧 AC 的中点， 易证 OE⊥AC， ∵∠C=90°，∠AOE=45°， ∴OE∥BC， 设 OM=1，则 AM=1， ∴AC=BC=2，OA= ， ∴OE= ， ∴EM= －1， ∵OE∥BC， 2 2DE AE+ 5 1 2 2 2 210 ∴ 。 故选 D。 二、 6. 2 解：连接 OB，如图， ∵∠BCD=22°30′， ∴∠BOD=2∠BCD=45°， ∵AB⊥CD， ∴BE=AE= AB= ×2 = ，△BOE 为等腰直角三角形， ∴OB= BE=2（cm）。 7 . 3 解：连接 OC，并过点 O 作 OF⊥CE 于 F， 且△ABC 为等边三角形，边长为 4， 故高为 2 ，即 OC= ， 又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°， 在 Rt△OFC 中，可得 FC=OC•cos30°= ， OF 过圆心，且 OF⊥CE，根据垂径定理易知 CE=2FC=3。 8. 2π 解：连接 O1O2、O2A、O2B ∵O1A 是切线，∴O2A⊥O1A， 又∵O1O2=2O2A，∴∠AO1O2=30°， ∴∠AO1B=60°，∠AO2B=120°， CPD 的弧长= ， 2 1 2 EF EM BF BC −= = 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 2 60 2 2 180 3 π π× =11 APB 的弧长= ∴APB 与 CPD 的弧长之和为 2π。 9. 12 或 4 边 AB 所在的直线不会与⊙O 相切；边 BC 所在的直线与⊙O 相切时， 如图，过点 G 作 GN⊥AB，垂足为 N， ∴EN=NF， 又∵EG︰EF= ︰2， ∴EG︰EN= ︰1， 又∵GN=AD=8， ∴设 EN=x，则 ，根据勾股定理得： ，解得：x=4，GE= ， 设⊙O 的半径为 r，由 OE2=EN2+ON2 得：r2=16+（8－r）2， ∴r=5。∴OK=NB=5， ∴EB=9， 又 AE= AB， ∴AB=12。 同理，当边 AD 所在的直线与⊙O 相切时，AB=4。 三、 10. （1）证明：连接 AD， ∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC， 120 2 4 180 3 π π× = 5 5 5GE x= ( )2 25 64x x− = 4 5 1 412 ∴∠DAC=∠EBC， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠DCA+∠DAC=90°， ∴∠EBC+∠DCA=90°， ∴∠BGC=180°－（∠EBC+∠DCA）=180°－90°=90°， ∴AC⊥BH。 （2）解：∵∠BDA=180°－∠ADC=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=45°， ∴BD=AD， ∵BD=8，∴AD=8， 在直角三角形 ADC 中，AD=8，AC=10， 根据勾股定理得：DC=6，则 BC=BD+DC=14， ∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD， ∴△BCE∽△ECD， ∴ ，即 CE2=BC•CD=14×6=84， ∴CE= =2 。 11. 解：（1）过点 O 作 OH⊥EF，垂足为点 H， ∵OH⊥EF， ∴∠AHO=90°， 在 Rt△AOH 中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°， ∴OH= AO， ∵BC=10cm， ∴BO=5cm。 ∵AO=AB+BO，AB=3cm， ∴AO=3+5=8cm， ∴OH=4cm，即圆心 O 到 AQ 的距离为 4cm。 （2）连接 OE， 在 Rt△EOH 中， BC CE CE CD = 84 21 1 213 ∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2， ∵EO=5cm，OH=4cm， ∴EH= =3cm， ∵OH 过圆心 O，OH⊥EF， ∴EF=2EH=6cm。 12. 解：（1）如图 1，设⊙O 的半径为 r， 当点 A 在⊙C 上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AH⊥BC 于 H， ∴BH=AB•cosB=4， ∴AH=3，CH=4， ∴AC= =5， ∴此时 CP=r=5。 （2）如图 2，若 AP∥CE，APCE 为平行四边形， ∵CE=CP， ∴四边形 APCE 是菱形， 连接 AC、EP，则 AC⊥EP， ∴AM=CM= ， 由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B， ∴CP=CE= ， ∴EF= 。 （3）如图 3：过点 C 作 CN⊥AD 于点 N， 2 2 2 25 4EO OH− = − 2 2AH CH+ 5 2 25 cos 8 CM ACB =∠ 2 225 72 38 4   − =  14 ∵cosB= ， ∴∠B＜45°， ∵∠BCG＜90°， ∴∠BGC＞45°， ∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE， 又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE， ∴当∠AEG=∠GAE 时，A、E、G 重合，则△AGE 不存在。 即∠AEG≠∠GAE ∴只能∠AGE=∠AEG， ∵AD∥BC， ∴△GAE∽△GBC， ∴ ，即 ， 解得：AE=3，EN=AN－AE=1， ∴CE= 。 ∴圆 C 的半径为 。 4 5 AE AG CB BG = 8 5 AE AE AE = + 2 2 2 23 1 10EN CN+ = + = 10