九年级数学上册专题突破讲练剖析与圆有关的计算试题新版青岛版.doc

1 剖析与圆有关的计算 圆中有关的计算问题主要涉及以下三个知识点： 1. 利用勾股定理：要想利用勾股定理解题，必须确定出直角三角形，根据两直角边的平 方和等于斜边的平方求出未知线段；或者用同一字母表示出三条边长，并根据勾股定理列出 方程求解； 2. 利用三角函数：利用三角函数求线段长也必须在直角三角形中才能实施，在直角三角 形中知道一角一边即可解此直角三角形得出未知的角和边，因此熟记特殊角的三角函数值是 解决问题的基础； 注意：在圆中，往往利用垂径定理和直径所对的圆周角以及切线的性质构造直角三角形。 3. 利用相似三角形：利用相似三角形求线段长是圆中最重要的一种解题方法和思路。因 此要善于发现和构造相似三角形。 常见的相似三角形模型有： 例题 （南充）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BP 是⊙O 的弦，弦 CD⊥AB 于点 F，交 BP 于点 G，E 在 CD 的延长线上，EP＝EG， （1）求证：直线 EP 为⊙O 的切线； （2）点 P 在劣弧 AC 上运动，其他条件不变，若 BG2＝BF•BO。试证明 BG＝PG； （3）在满足（2）的条件下，已知⊙O 的半径为 3，sinB＝ 。求弦 CD 的长。 解析：（1）连结OP，先由 EP＝EG，证出∠EPG＝∠BGF，再由∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°， 推出∠EPG＋∠OPB＝90°来求证。 （2）连结 OG，由 BG2＝BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO＝∠BFG＝90°，根据垂 线定理可得出结论。 3 32 （3）连结 AC、BC、OG，由 sinB＝ ，求出 OG，由（2）得出∠B＝∠OGF，求出 OF， 再求出 BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以 2 得出 CD 长度。 解答：（1）证明：连结 OP， ∵EP＝EG， ∴∠EPG＝∠EGP， 又∵∠EGP＝∠BGF， ∴∠EPG＝∠BGF， ∵OP＝OB， ∴∠OPB＝∠OBP， ∵CD⊥AB ， ∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°， ∴∠EPG＋∠OPB＝90°， ∴直线 EP 为⊙O 的切线； （2）证明：如图，连结 OG，OP， ∵BG2＝BF•BO， ∴ ， ∴△BFG∽△BGO， ∴∠BGO＝∠BFG＝90°， 3 3 BG BF BO BG =3 由垂线定理知：BG＝PG； （3）解：如图，连结 AC、BC、OG、OP， ∵sinB＝ ， ∴ ， ∵OB＝r＝3， ∴OG＝ ， 由（2）得∠EPG＋∠OPB＝90°， ∠B＋∠BGF＝∠OGF＋∠BGF＝90°， ∴∠B＝∠OGF， ∴sin∠OGF＝ ＝ ∴OF＝ 1， ∴BF＝BO－OF＝3－1＝2，FA＝OF＋OA＝1＋3＝4， 在 Rt△BCA 中， CF2＝BF•FA， ∴CF＝ 。 ∴CD＝2CF＝ 。 点拨：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系， 灵活运用直角三角形中的正弦值。 【解题技巧】 1. 充分利用直径，构建直角三角形，利用勾股定理，建立方程。 2. 已知条件中的三角函数值，要转化为直角三角形中对应边的比例关系。 3. 善于利用相似三角形对应边成比例解决问题。 例题 （北京）如图，AB 是⊙O 的直径，PA，PC 分别与⊙O相切于点 A，C，PC 交 AB 的 延长线于点 D，DE⊥PO 交 PO 的延长线于点 E。 （1）求证：∠EPD＝∠EDO； （2）若 PC＝6，tan∠PDA＝ ，求 OE 的长。 3 3 3 3 OG OB = 3 3 3 OF OG 2 4 2 2BF FA⋅ = × = 4 2 4 34 解析：（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠EPD＝∠EDO； （2）连接 OC，利用 ，可求出 CD＝4，再证明△OED∽△DEP，根据相似 三角形的性质和勾股定理即可求出 OE 的长。 答案：（1）证明：∵PA，PC 与⊙O 分别相切于点 A，C ∴PA＝PC，∠APO＝∠EPD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴PA⊥AB ∵DE⊥PO ∴∠A＝∠E＝90° ∵∠POA＝∠DOE ∴∠APO＝∠EDO ∴∠EPO＝∠EDO （2）解：连结 OC，则 OC⊥PD 在 Rt△PAD 中，∠A＝90°，PA＝PC＝6，tan∠PDA＝ 可得 AD＝8，PD＝10 ∴CD＝4 在 Rt△OCD 中，∠OC D＝90°，CD＝4，tan∠ODC＝ 可得 OC＝3，OD＝5 在 Rt△PCO 中，由勾股定理得 PO＝ 可证 Rt△DEO∽Rt△PCO ∴ ，即 3 4tan PDA∠ = 3 4 3 4 3 5 OE OD OC OP = 5 3 3 5 OE =5 ∴OE＝ 点拨：本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综 合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题 的能力。 （答题时间：30 分钟） 一、选择题 1. （张家港市二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（－4，0），⊙O 与 x 轴的 负半轴交于 B（－2，0）。点P 是⊙O 上的一个动点，PA 的中点为 Q。当点 Q 也落在⊙O 上时， cos∠OQB 的值等于（　　） A. B. C. D. 2.（梧州一模）如图，过等腰△ABC 三边的中点 D、F、G 作⊙O，并与两腰 AB、AC 分别相 交于点 H、E，若∠B＝72°，则∠BDH＝（　　） A. 32° B. 34° C. 36° D. 72° 3. 已知在△ABC 中，∠BAC＝90°，M 是边 BC 的中点，BC 的延长线上的点 N 满足 AM⊥AN。 △ABC 的内切圆与边 AB、AC 的切点分别为 E、F，延长 EF 分别与 AN、BC 的延长线交于 P、 Q，则 ＝（　　） 5 1 2 1 3 1 4 2 3 PN QN6 A. 1 B. 0.5 C. 2 D. 1.5 *4. 一张半径为 2 的半圆图纸，沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O 为 半圆圆心，如果切点分直径之比为 3：1，则折痕长为（　　） A. 3 B. C. D. **5.（北塘区二模）如图，扇形 OMN 的半径为 1，圆心角是 90°。点 B 是弧 MN 上一动点， BA⊥OM 于点 A，BC⊥ON 于点 C，点 D、E、F、G 分别是线段 OA、AB、BC、CO 的中点，GF 与 CE 相交于点 P，DE 与 AG 相交于点 Q。当四边形 EPGQ 是矩形时，OA 的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 6. （甘孜州）如图，两个半圆外切，它们的圆心都在 x 轴的正半轴上，并都与直线 y＝x 相切。若半圆 O1 的半径为 1，则半圆 O2 的半径 R＝　　。 10 11 2 3 3 3 2 3 2 6 3 67 7.（相城区模拟）如图，直线 l 与圆O 相交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 P。若点 A 的坐 标为（1，3），PB＝3PA，则直线 l 的解析式为　　。 8.（西湖区一模）如图，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°。O 是 AB 的中点，⊙O 与 AC，B C 分别相切于点 D 与点 E。点 F 是⊙O 与 AB 的一个交点，连 DF 并延长交 CB 的延长线于点 G。则∠CDG＝　　，若 AB＝ ，则 BG＝　　。 9.（上城区二模）如图，⊙O 的半径 OD 经过弦 AB（不是直径）的中点 C，OE∥AB 交⊙O 于点 E，PE∥OD，延长直径 AG，交 PE 于点 H，直线 DG 交 OE 于点 F，交 PE 于 K。若 EF＝2， FO＝1，则 KH 的长度等于　　。 三、解答题 10. （遵义）如图，直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且∠ABC＝60°，AB＝BC， △ACD 的外接圆⊙O 交 BC 于 E 点，连接 DE 并延长，交 AC 于 P 点，交 AB 的 延长线于 F。 （1）求证：CF＝DB； 4 28 （2）当 AD＝ 时，试求 E 点到 CF 的距离。 *11. （襄阳）如图，A，P，B，C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，过点 A 作⊙O 的切线交 BP 的延长线于点 D。 （1）求证：△ADP∽△BDA； （2）试探究线段 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若 AD＝2，PD＝1，求线段 BC 的长。 **12. （荆门）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 是 BC 的中点，P 是线段 MC 上的一 个动点（不与 M、C 重合 ），以 AB 为直径作⊙O，过点 P 作⊙O 的切线，交 AD 于点 F，切点 为 E。 （1）求证：OF∥BE； （2）设 BP＝x，AF＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）延长 DC、FP 交于点 G，连接 OE 并延长交直线 DC 于 H（图 2），问是否存在点 P， 使△EFO∽△EHG（E、F、O 与 E、H、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中 x 和 y 的值； 如果不存在，请说明理由。 39 一、选择题 1. C 解析：当点 P 运动到恰好点 Q 落在⊙O 上，连接 QO 并延长交⊙O 于点 C，连接 QB， OP，BC，则∠CBQ＝90°（直径所对的圆周角是直角） ∵B、Q 分别是 OA、AP 的中点， ∴BQ∥OP， ∵点 A 坐标为（－4，0），⊙O 与 x 轴的负半轴交于 B（－2，0）。 ∴OP＝OB＝BA＝ OA＝2， ∴QB＝1 在 Rt△CQB 中，∠CBQ＝90° ∴cos∠OQB＝ ＝ 。 2. C 解：如图，连接 AD、GD， ∵AB＝AC，点 D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC， ∵∠B＝72°， ∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－72°＝18°， ∵G 是 AB 的中点， ∴DG＝AG， ∴∠BAD＝∠ADG， ∴∠BGD＝∠BAD＋∠ADG＝18° ＋18°＝36°， ∵G、F 分别是 AB、AC 的中点， ∴GF 是△ABC 的中位线， ∴AD 垂直平分 GF， ∴AD 经过圆心 O， ∴∠BDH＝∠BGD＝36°。 1 2 QB QC 1 410 3. A 解：取△ACB 的内切圆的圆心是 O，连接 OE、OF，作 NA 的延长线 AG， 则 OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形 AEOF 是正方形， ∴AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵∠BAC＝90°，M 为斜边 BC 上中线， ∴AM＝CM＝BM， ∴∠MAC＝∠MCA， ∵∠BAC＝90°，AN⊥AM， ∴∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90°， ∴∠GAE＋∠EAM＝90°，∠EAM＋∠MAC＝90°，∠MAC＋∠CAN＝90°， ∴∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP， ∵∠GAE＝∠APE＋∠AEP，∠MCA＝∠Q＋∠CFQ， ∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，∠EPA＝∠NPQ， ∴∠Q＝∠NPQ， ∴PN＝QN， ∴ ＝1 4. C 解：过 O 作弦 BC 的垂线 OP，垂足为 D，与弧的交点分别为 A、G，过切点 F 作 PF⊥ 半径 OE 交 OP 于 P 点，如图， ∵OP⊥BC， ∴BD＝DC，即 OP 为 BC 的中垂线， ∴OP 必过弧 BGC 所在圆的圆心， PN QN11 又∵OE 为弧 BGC 所在圆的切线，PF⊥OE， ∴PF 必过弧 BGC 所在圆的圆心， ∴点 P 为弧 BGC 所在圆的圆心， ∵弧 BAC 沿 BC 折叠得到弧 BGC， ∴⊙P 的半径等于⊙O 的半径，即 PF＝PG＝OE＝2，并且 AD＝GD， ∴OG＝AP， 而 F 点分⊙O 的直径为 3：1 两部分， ∴OF＝1， 在 Rt△OPF 中，设 OG＝x，则 OP＝x＋2， ∴OP2＝OF2＋PF2，即（x＋2）2＝12＋22，解得 x＝ －2， ∴AG＝2－（ －2）＝4－ ， ∴DG＝ ＝2－ ， ∴OD＝OG＋DG＝ －2＋2－ ＝ ， 在 Rt△OBD 中，BD2＝OB2－OD2，即 BD2＝22－（ ）2， ∴BD＝ ， ∴BC＝2BD＝ 。 5. A 解：如图，连结 OB。 ∵四边形 EPGQ 是矩形。 ∴∠AED＋∠CEB＝90°。 又∵∠DAE＝∠EBC＝90°， ∴∠AED＝∠BCE。 ∴△AED∽△BCE， ∴ ， 设 OA＝x，AB＝y，则 ： ＝ ：x， 得 y2＝2x2， 又∵OA2＋AB2＝OB2， 即 x2＋y2＝12。 ∴x2＋2x2＝1， 解得：x＝ 。 即当四边形 EPGQ 是矩形时，OA 的长度为 。 5 5 5 4 5 2 − 5 2 5 5 2 5 2 5 2 11 2 11 AD AE BE BC = 2 x 2 y 2 y 3 3 3 312 二、填空题 6. 3＋2 解析：作 O1A⊥直线 y＝x 于 A，作 O2B⊥直线 y＝x 于 B，O1C⊥O2B 于 C，如图， 则 O1C∥直线 y＝x， ∴∠CO1O2＝∠AOO1， ∵直线 y＝x 平分∠xOy， ∴∠AOO1＝45°， ∴∠CO1O2＝45°， ∴△CO1O2 为等腰直角三角形， ∵⊙O1 和⊙O2 与直线 y＝x 相切， ∴O1A＝1 ，O2B＝R， ∴BC＝1，O2C＝R－1， 而⊙O1 和⊙O2 外切， ∴O1O2＝R＋1， ∴O1O2＝ O2C，即 R＋1＝ （R－1）， ∴R＝3＋2 。 7. y＝x＋2 解析：过 A 作 AD⊥x 轴于 D，BE⊥y 轴于 E，AD 与 BE 相交于 C，连结 OA、 OB，如图， ∵A 点坐标为（1，3）， ∴OD＝1，AD＝3， ∴EC＝1， ∵AC∥PE， ∴PA：PB＝CE：BE， 而 PB＝3PA， ∴BE＝3CE＝3， 在 Rt△OAD 中，OA＝ ， ∴OB＝OA＝ ， 2 2 2 2 2 21 3 10+ = 1013 在 Rt△OBE 中，OE＝ ∴B 点坐标为（－3，－1）， 设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b， 把 A（1，3）和 B（－3，－1）代入得 ，解得 ， ∴直线 l 的解析式为 y＝x＋2。 8. 67.5°， －2 解析：连接 OD。 ∵CD 切⊙O 于点 D， ∴∠ODA＝90°，∠DOA＝45°， ∵OD＝OF， ∴∠ODF＝∠OFD＝ ∠DOA＝22.5°， ∴∠CDG＝∠CDO－∠ODF＝90°－22.5°＝67.5°。 ∵AC 为圆 O 的切线， ∴OD⊥AC， 又 O 为 AB 的中点，∴AO＝BO＝ AB＝2 ， ∴圆的半径 DO＝FO＝AOsinA＝2 × ＝2， ∴BF＝OB－OF＝2 －2。 ∵GC⊥AC，OD⊥AC， ∴OD∥CG， ∴∠ODF＝∠G，又∠OFD＝∠BFG， ∴△OD F∽△BGF， ∴ ，即 ， ∴BG＝2 －2。 9. 2 解析：∵EF＝2，OF＝1， ∴EO＝DO＝3， ∵PE∥OD， 2 2 10 9 1OB BE− = − = 3 3 1 k b k b + = − + = − 1 2 k b =  = 22 1 2 1 2 2 2 2 2 2 OD OF BG BF = 2 2 2 2 2BG = − 214 ∴∠KEO＝∠DOE，∠K＝∠ODG， ∴△OFD∽△EFK， ∴EF：OF＝KE：OD＝2：1 ∴KE＝6， ∵AC＝BC，AB 不是直径， ∴OD⊥AB，∠PCO＝90°， ∵PE∥OD， ∴∠P＝90°， ∵EO∥AB， ∴∠PEO＝90°， ∵OG＝OD， ∴∠OGD＝∠ODG， ∵PE∥OD， ∴∠K＝∠ODG， ∵∠OGD＝∠HGK， ∴∠K＝∠HGK， ∴HK＝HG， 设 KH＝HG＝x， 则 HE＝6－x，HO＝3＋x，EO＝3， 则 EO2＋HE2＝HO2， 即 32＋（6－x）2＝（3＋x）2， 解得：x＝2， 故 KH 的长度等于 2。 三、解答题 10.（1）证明：连结 AE，如图， ∵∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC 为等边三角形， ∵AB∥CD，∠DAB＝90°， ∴∠ADC＝∠DAB＝90°， ∴AC 为⊙O 的直径， ∴∠AEC＝90°，即 AE⊥BC， ∴BE＝CE，15 CD∥BF， ∴∠DCE＝∠FBE， 在△DCE 和△FBE 中， ∴△DCE≌△FBE（ASA）， ∴DE＝FE， ∴四边形 BDCF 为平行四边形， ∴CF＝DB； （2）解：作 EH⊥CF 于 H，如图， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝30°， 在 Rt△ADC 中，AD＝ ， ∴DC＝1 AC＝2CD＝2， ∴AB＝AC＝2，BF＝CD＝1， ∴AF＝3， 在 Rt△ABD 中，BD＝ ， 在 Rt△ADF 中，DF＝ ＝2 ， ∴CF＝BD＝ ，EF＝ DF＝ ， ∵AE⊥BC， ∴∠CAE＝∠BAE＝30°， ∴∠EDC＝∠CAE＝30°， 而∠DCA＝∠BAC＝60°， ∴∠DPC＝90°， 在 Rt△DPC 中，DC＝1，∠CDP＝30°， ∴PC＝ DC＝ ， ∵∠HFE＝∠PFC， ∴Rt△FHE∽Rt△FPC， ∴ ，即 ， ∴EH＝ ， 即 E 点到 CF 的距离为 。 DCE FBE CE BE DEC BEF ∠ = ∠  = ∠ = ∠ 3 2 2 7AD AB+ = 2 2AD AF+ 3 7 1 2 3 1 2 1 2 EH FE PC FC = 3 1 7 2 EH = 21 14 21 1416 11. （1）证明：作⊙O 的直径 AE，连接 PE， ∵AE 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线， ∴∠DAE＝∠APE＝90°， ∴∠PAD＋∠PAE＝∠PAE＋∠E＝90°， ∴∠PAD＝∠E， ∵∠PBA＝∠E，∴∠PAD＝∠PBA， ∵∠PAD＝∠PBA，∠ADP＝∠BDA， ∴△ADP∽△BDA； （2）PA＋PB＝PC， 证明：在线段 PC 上截取 PF＝PB，连接 BF， ∵PF＝PB，∠BPC＝60°， ∴△PBF 是等边三角形， ∴PB＝BF，∠BFP＝60°， ∴∠BFC＝180°－∠PFB＝120°， ∵∠BPA＝∠APC＋∠BPC＝120°， ∴∠BPA＝∠BFC， 在△BPA 和△BFC 中， ， ∴△BPA≌△BFC（AAS）， ∴PA＝F C， ∴PA＋PB＝PF＋FC＝PC； （3）解：∵△ADP∽△BDA， ∴ ， ∵AD＝2，PD＝1， ∴BD＝4，AB＝2AP， ∴BP＝BD－DP＝3， ∵∠APD＝180°－∠BPA＝60°， ∴∠APD＝∠APC， ∵∠PAD＝∠E，∠PCA＝∠E， ∴∠PAD＝∠PCA， ∴△ADP∽△CAP， ∴ ， ∴AP2＝CP•PD， ∴AP2＝（3＋AP）•1， PAB FCB PB FB BPA BFC ∠ = ∠  = ∠ = ∠ AD DP AP BD DA BA = = AP DP CP AP =17 解得：AP＝ 或 AP＝ （舍去）， ∴BC＝AB＝2AP＝1＋ 。 12. （1）证明：连接 OE FE、FA 是⊙O 的两条切线 ∴∠FAO＝∠FEO＝90° 在 Rt△OAF 和 Rt△OEF 中， ∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL）， ∴∠AOF＝∠EOF＝ ∠AOE， ∴∠AOF＝∠ABE， ∴OF∥BE （2）解：过 F 作 FQ⊥BC 于 Q ∴PQ＝BP－BQ＝x－y PF＝EF＋EP＝FA＋BP＝x＋y ∵在 Rt△PFQ 中 ∴FQ2＋QP2＝PF2 ∴22＋（x－y）2＝（x＋y）2 化简得： （1＜x＜2） （3）解：存在这样的 P 点， 理由：∵∠EOF＝∠AOF， ∴∠EHG＝∠EOA＝2∠EOF， 当∠EFO＝∠EHG＝2∠EOF 时， 即∠EOF＝30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG， 此时 Rt△AFO 中， y＝AF＝OA•tan30°＝ ， ∴ ∴当 时，△EFO∽△EHG。 1 13 2 + 1 13 2 − 13 FO FO OA OE =  = 1 2 1y x = 3 3 1 3x y = = 33, 3x y= =18