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一元二次方程的根与系数究竟有何关系
一、一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 x1、x2，则 x1＋x2＝－
b
a，
x1·x2＝
c
a。
方法归纳：（1）如果方程 x2＋px＋q＝0 的两个实数根是 x1、x2，那么 x1＋x2＝－p，
x1·x2＝q。
（2）以 x1、x2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x 2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0
或（x－x1）（x－x2）＝0。
二、一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）验根；
（2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x1、x2 的对称式的值。
方法归纳：利用方程根与系数的关系求代数式的值，几个重要变形如下：
（1）x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2；
（2）
1
x1＋
1
x2＝
x1＋x2
x1·x2；
（3）
x2
x1＋
x1
x2＝
x12＋x22
x1x2 ＝
（x1＋x2）2－2x1x2
x1x2 ；
（4）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2；
（5）x1－x2＝± （x1－x2）2＝± （x1＋x2）2－4x1x2。
总结：
1. 已知一元二次方程的两个实数根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围。
2. 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。
例题 1 已知方程 x2－2x－1＝0，则此方程（ ）
A. 无实数根 B. 两根之和为－2
C. 两根之积为－1 D. 有一根为－1＋ 2
解析：根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况；由根与系数的关系确
定两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根。
A. ＝（－2）2－4×1×（－1）＝8＞0，则该方程有两个不相等的实数根。故本选项
错误；B. 设该方程的两根分别是 α、β，则 α＋β＝2。即两根之和为 2，故本选项错误；
C. 设该方程的两根分别是α、β，则 αβ＝－1。即两根之积为－1，故本选项正确；D. 根
据求根公式 x＝1± 2可知，原方程的两根是（1＋ 2）和（1－ 2），故本选项错误。故
选 C。
答案：C
点拨：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用。利用根与系
数的关系、求根 公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示的含义。
∆2
例题 2 设 x1、x2 是方程 x2－x－2013＝0 的两个实数根，求 x13＋2014x2－2013 的值。
解析：由原方程可知x2＝x＋2013，x＝x2－2013；x12＝x1＋2013，x1＝x12－2013。由根
与系数的关系可知 x1＋x2＝1，根据以上关系代入求值即可。
答案：∵x2－x－2013＝0，∴x2＝x＋2013，x＝x2－2013。
又∵x1、x2 是方程 x2－x－2013＝0 的两个实数根
∴x1＋x2＝1
∴x13＋2014x2－2013
＝x1•x12＋2013x2＋x2－2013
＝x1•（x1＋2013）＋2013x2＋x2－2013
＝x12＋2013x1＋2013x2＋x2－2013
＝（x1＋2013）＋2013x1＋2013x2＋x2－2013
＝x1＋x2＋2013（x1＋x2）＋2013－2013
＝1＋2013
＝2014
点拨：本题考查了根与系数的关系，对所求代数式的变形是解答此题的关键点和难点。
利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。设一元二次方程 ax2＋bx
＋c＝0（a≠0）的两个实数根为 x1、x2，则
（1）当 ≥0 且 x1x2＞0 时，两根同号，即{x1＋x2＞0时，两根同为正数
x1＋x2＜0时，两根同为负数
（2）当 ＞0 且 x1x2＜0 时，两根异号，即{x1＋x2＞0时，两根异号且正根绝对值较大
x1＋x2＜0时，两根异号且负根绝对值较大
例题 如果关于 x 的方程 x2－px－q＝0（p、q 是正整数）的正根小于 3，那么这样的
方程的个数是（ ）
A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个
解析：∵p、q 是正整数，且 ＝p2＋4q＞0，∴原方程有两个不相等的实数根。又∵
x1·x2＝－q＜0，∴此方程两根异号。这个方程的正根为
p＋ p2＋4q
2 ，即
p＋ p2＋4q
2 ＜3。
解得 q＜9－3p，其正整数解是：{p＝1
q＝1 、{p＝1
q＝2 、{p＝1
q＝3 、{p＝1
q＝4 、{p＝1
q＝5 、{p＝2
q＝1 、{p＝2
q＝2 。故
选 C。
答案：C
点拨：要判断一元二次方程的根的符号有一个前提条件不能忽略，那就是判别式⊿≥0，
然后再依据 x1x2 和 x1＋x2 的正负情况进行判断。
（答题时间：30 分钟）
一、选择题
1. 已知（x＋a）（x－b）＝x2＋2x－1，则 ab＝（ ）
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
2. 已知一元二次方程 x2－6x＋c＝0 有一个根为 2，则另一个根为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
∆
∆
∆3
3. 已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋a＝0 的两个解，若（m－1）（n－1）＝－
6，则 a 的值为（ ）
A. －10 B. 4 C. －4 D. 10
*4. 设 x1、x2 是方程 x2＋3x－3＝0 的两个实数根，则
x2
x1＋
x1
x2的值为（ ）
A. 5 B. －5 C. 1 D. －1
*5. 若 m、n 是方程 x2－2 5x＋1＝0 的两个实数根，则
n
m－
m
n的值是（ ）
A. ±2 5 B. ±4 5 C. ±6 5 D. ±8 5
**6. 若方程 x2＋2px－3p－2＝0 的两个不相等的实数根 x1、x2 满足 x12＋x1＝4－（x22＋
x2），则实数 p 的可能的值为（ ）
A. 0 或－1 B. 0 C. 0 或－4 D. －4
二、填空题
7. 若 x1 ＝－1 是关于 x 的方程 x2 ＋mx－5＝0 的一个根，则方程的另一个根 x2 ＝
__________。
8.已知关于 x 的一元二次方程 x2－x－3＝0 的两个实数根分别为 α、β，则（α＋3）（β
＋3）＝__________。
*9. 已知实数 a、b 不相等，并且 a2＋1＝5a，b2＋1＝5b，则
1
a2＋
1
b2＝__________。
**10. 已知关于 x 的方程 x2－（a＋b）x＋ab－1＝0，x1、x2 是此方程的两个实数根，现
给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2。则正确的结论是__________。
（填上你认为正确结论的所有序号）
三、解答题
11. 已知关于 x 的方程 x2＋x＋n＝0 有两个实数根－2、m。求 m、n 的值。
*12. 已知 α、β 是关于 x 的一元二次方程 x2＋（2m＋3）x＋m2＝0 的两个不相等的实数
根，且满足
1
α＋
1
β＝－1，试求 m 的值。
**13. 已知 α、β 是方程 x2＋2x－1＝0 的两个实数根，试求α3＋5β＋10 的值。
**14. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0 有两个实数根 x1、x2。
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）是否存在实数 k 使得 x1·x2－x12－x22≥0 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存
在，请说明理由。
**15. 已知关于 x 的方程 x2－2mx＝－m2＋2x 的两个实数根 x1、x2 满足︱x1︱＝x2，求实
数 m 的值。4
一、选择题
1. C 解析：注意本题 ab 不是利用根与系数的关系求得的，根据等式的性质求解即可。
2. C 解析：设方程的另一个根为 x1，由题意可知 x1＋2＝6，所以 x1＝4，即方程的另一
根为 4。
3. C 解析：根据题意得：m＋n＝3，mn＝a，∵（m－1）（n－1）＝mn－（m＋n）＋1＝－
6，∴a－3＋1＝－6，解得 a＝－4，故选 C。
*4. B 解 析 ： 由 题 意 可 知 x1 ＋ x2 ＝ － 3 ， x1x2 ＝ － 3 ， ∴
x2
x1＋
x1
x2＝
x12＋x22
x1x2 ＝
（－3）2－2 × （－3）
－3 ＝－5。
*5. D 解析：由已知得 m＋n＝2 5，mn＝1，则（m－n） 2＝（m＋n）2－4mn＝（2 5）2
－4＝16，∴m－n＝±4。∴
n
m－
m
n＝
n2－m2
mn ＝
(m＋n)(n－m)
mn ＝±8 5。
**6. B 解析：∵原方程有两个不相等的实数根，∴ ＝（2p）2＋4（3p＋2）＞0，即 p2
＋3p＋2＞0，且 x1＋x2＝－2p，x1x2＝－3p－2。又∵x12＋x1＝4－（x22＋x2），即 x12＋x22＋
x1＋x2＝4，∴（x1＋x2）2－2x1x2＋（x1＋x2）＝4，即（－2p）2＋2（3p＋2）－2p＝4，∴4p2
＋4p＝0，解得 p＝0 或－1。当 p＝0 时 ＞0，当 p＝－1 时 ＝0（舍去），所以 p 的可能
的值为 0。
二、填空题
7. 5 解析：由 x1x2＝－5 且 x1＝－1，得 x2＝5。
8. 9 解析：∵α＋β＝1，αβ＝－3，∴（α＋3）（β＋3）＝αβ＋ 3（α＋β）＋9
＝－3＋3×1＋9 ＝9。
*9. 23 解析：∵a、b 满足 a2＋1＝5a，b2＋1＝5b，即 a、b 是 x2＋1＝5x 的两个实数根，
整理此方程为 x2－5x＋1＝0，根据根与系数的关系可知 a＋b＝5，ab＝1。∴
1
a2＋
1
b2＝
a2＋b2
a2b2
＝
（a＋b）2－2ab
a2b2 ＝23。
**10. ①② 解析：①∵方程 x2－（a＋b）x＋ab－1＝0 中， ＝（a＋b）2－4（ab－1）＝
（a－b）2＋4＞0，∴x1≠x2，故①正确；②∵x1x2＝ab－1＜ab，故②正确；③∵x1＋x2＝a＋
b，x1x2＝ab－1，∴x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（a＋b）2－2ab＋2＝a2＋b2＋2＞a2＋b2，
即 x12＋x22＞a2＋b2。故③错误；综上所述，正确结论的序号是：①②。
三、解答题
11. 解：∵关于 x 的方程 x2＋x＋n＝0 有两个实数根－2、m，∴{－2m＝n
－2＋m＝－1，解得{m＝1
n＝－2，
即 m、n 的值分别是 1、－2。
*12. 解：根据条件知：α＋β＝－（2m＋3），αβ＝m2，∴
1
α＋
1
β＝
α＋β
αβ ＝
－（2m＋3）
m2
＝－1，即 m2－2m－3＝0，所以有{m2－2m－3＝0
（2m＋3）2－4m2＞0，解得 m＝3。
**13. 解：∵α是方程 x2＋2x－1＝0 的根，∴α2＝1－2α。∴α3＝a2·a＝（1－2α）α＝
α－2α2＝α－2 （1－2α）＝5α－2，又∵α＋β＝－2，∴α3＋5β＋10＝（5α－2）＋
5β＋10＝5（α＋β）＋8＝5×（－2）＋8＝－2。
**14. 解：（1）∵原方程有两个实数根， ＝[－（2k＋1）]2－4（k2＋2k）＝4k2＋4k＋
∴
∆
∆ ∆
∆
∆5
1－4k2－8k＝1－4k≥0，∴k≤
1
4。∴当 k≤
1
4时，原方程有两个实数根。（2）假设存在实数 k
使得 x1·x2－x12－x22≥0 成立。理由如下：∵x1、x2 是原方程的两个实数根，∴x1＋x2＝2k＋
1，x1·x2＝k2＋2k。由 x1·x2－x12－x22≥0 得 3x1·x2－（x1＋x2）2≥0。∴3（k2＋2k）－
（2k＋1）2≥0，整理得：（k－1）2≤0，∴只有当k＝1 时，上式成立。又∵由（1）知 k≤
1
4，∴不存在实数 k 使得 x1·x2－x12－x22≥0 成立。
**15. 解：原方程可变形为：x2－2（m＋1）x＋m2＝0，∵x1、x2 是方程的两个实数根，∴
≥0，即 4（m＋1）2－4m2≥0，∴8m＋4≥0，m≥－
1
2。又 x1、x2 满足︱x1︱＝x2，∴x1＝x2
或 x1＝－x2，即 ＝0 或 ＞0 且 x1＋x2＝0，由 ＝0，即 8m＋4＝0，得 m＝－
1
2。由 x1＋x2
＝0，即 2（m＋1）＝0，得 m＝－1（不合题意，舍去）。∴当︱x1︱＝x2 时，m 的值为－
1
2。
∆
∆ ∆ ∆
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