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与圆有关的线段
在圆中的线段主要有以下几种：半径、直径、弦，弦心距还有切线长。求圆中线段的长
是中考的一个重要考点，在选择题、填空题、解答题、探索题都会出现。因此，这部分内容
在中考中占举足轻重的地位。
垂径定理、勾股定理是解决圆中线段问题的重要工具，也是比较常用的定理，有时候也
需要以下定理：圆心角定理、圆周角定理、切线的判定（性质）定理、切线长定理、等腰三
角形的性质定理，在有些探索类型的题目中还有可能用到相交弦定理、切割定理等。
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
符号语言：∵AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB⊥CD，∴ PC=PD， = ，
= 。
（2）圆心角、弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等。
（3）勾股定理：
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
例题 1 （温州市中考）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，延长 BC 至点 D，使
DC=CB。延长 DA 与⊙O 的另一个交点为 E，连结 AC、CE。
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若 AB=4，BC－AC=2，求 CE 的长。
BC BD AC
AD2
解析：要求 CE 长，可通过证明 CE=AB，转化为求 AB 长，结合∠E=∠B 及等腰三角形的
性质、勾股定理，可解决问题。
答案：解：（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC；∵DC=CB，
∴AD=AB，∴∠B=∠D。
（2）设 BC=x，则 AC=x－2。在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2，∴（x－2）2+x2=4，
解得 （舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，
∵CD=CB∴CE=CB=1+ 。
点拨：本题综合考查了圆周角、垂直平分线、等腰三角形、直 角三角形的性质，解题
的关键是正确理解和应用有关定理。与圆周角有关的问题，需要灵活运用同弧或等弧所对的
圆周角相等、同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ，直径所对的圆周角是直角等知
识点，由于图形中的角比较多，解题时要仔细观察图形特点。
例题 2 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD⊥BC 于 E，交 BC 于 D．若 BC=8，ED＝2，
求⊙O 的半径．
解析：根据垂径定理可以知道线段 EB 的长，设出圆的半径，然后用半径表示出 OE，这
样就可以在 Rt 直角三角形 OEB 中，根据勾股定理，就可以求出圆的半径．
解 ： 因 为 ， OD ⊥ BC ， 所 以 ， BE ＝ CE= BC=4 ． 设 ⊙ O 的 半 径 为 R ， 则
OE=OD-DE=R-2．在 Rt△OEB 中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2．解得 R＝5，∴⊙
O 的半径为 5．
点拨：在求圆的半径时，关键是利用垂径定理构造直角三角形，然后设半径根据勾股定
理列出方程，解得答案．
如何解决圆中的线段问题
圆中的线段包括：半径、直径、弦、切线。求这些线段长是这部分的主要题型，综合利
用圆中性质定理、勾股定理、等腰三角形的性质定理是解题的关键所在。在解题的过程中，
E
O
B
A
C
D
71,71 21 −=+= xx
7
1
23
你能否掌握其中的技巧吗？
满分训练 （湛江中考）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，且 OP∥BC，∠P
＝∠BAC。
（1）求证：PA 为⊙O 的切线；
（2）若 OB=5，OP= ，求 AC 的长。
解析：（1）设法证出∠OAP=90°即可；（2）利用垂径定理，勾股定理及面积法可求 AC
的长。
答案：解：（1）设 AC 与 OP 相交于点 H。∵AB 是直径，∴AC⊥BC，∠BAC+∠B=90°，
∵OP∥BC，∴OP⊥AC，∠AOB=∠B．∵∠P=∠BAC∴∠P+∠AOP=90°，于是∠OAB=90°，∴PA
为⊙O 的切线。
（2）∵OP⊥AC，∴AC=2AH，在直角三角形 PAO 中，
AP=
由面积法可知： ，所以 AC=8。
点拨：本题考查了圆的切线的证明以及有关圆的计算，掌握圆的切线的证法以及圆中基
本的计算方式是解题的关键。求线段的长度有以下常用的方法：
（ 1）用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中；
（2）用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中；
（3）面积法，适用于有直角三 角形中有高的存在的图形。
（答题时间：30 分钟）
1. 如图， 内接于⊙O， ， ，则⊙O 的半径为（ ）
A. B. C. D.
2. 若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）
C
O
A
B
P
25
3
2 2 2 225 20( ) 53 3OP OA− = − =
205 3 425
3
OA APAH OP
××= = =
ABC△ 30C∠ = 2AB =
3 2 2 3 44
A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ，
3. 如图，⊙O 的直径 AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且 BP︰AP=1︰5，则 CD
的长为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 是弦 AB 上一点，且 BC︰CA＝2︰1，连结 OC 并延长交⊙O
于 D，又 DC＝2 厘米，OC＝3 厘米， 则圆心 O 到 AB 的距离为（ ）
A. 厘米 B. 厘米 C. 2 厘米 D. 3 厘米
5. 如图⊙O 中，半径 OD⊥弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交⊙O 于点 E，连结 EC，若 AB=8，
CD=2，则 EC 的长度为（ ）
A. B. 8 C. D.
6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足为 D，则 BD 的
长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
7. 如图，半圆 O 的直径 AB=10，弦 AC =6cm，AD 平分∠BAC，则 AD 的长为（ ）
A. cm B. cm C. cm D. 4cm
8. 如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD 为⊙O 的直径，AD=6，则 BC＝ 。
C
O
A B
D
3 2 3 2 6 2 3 2
24 28 52 54
6 7
52 102 132
4 5 3 5 5 55
9. 如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于点 E，D
为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC=FC。
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若 BF=8，DF= ，求⊙O 的半径 r。
10. 如图，已知 P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点 C，OC=CP=2，弦 AB⊥OC，劣弧 AB 的度数
为 120°，连结 PB。
（1）求 BC 的长；（2）求证：PB 是⊙O 的切线。
11. 如图，已知⊙O 的半径为 1，DE 是⊙O 的直径，过 D 作⊙O 的切线，C 是 AD 的中点，AE
交⊙O 于 B 点，四边形 BCOE 是平行四边形。
（1）求 AD 的长；
（2）BC 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由。
12. 如图，△ABC 内接于⊙O， 60°，CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且
AP=AC。
（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若 ，求⊙O 的直径。
40
B∠ =
3PD =67
1. B 解析：过点 B 作圆的直径 BD，交圆于点 D，连接 AD，
根据圆周角定理，得：∠C=∠D=30°，∠DAB=90°，所以在 Rt△ADB 中，因为，
∠D=30°，AB=2，所以，DB=4，所以，圆的半径为 2。
2. B 解析：画图如下，由正方形的性质，垂径定理可得 OE=AE=3，OA= 。故选 B。
3. D 解析：连接 OC，如图，设 OC 的长为 r，∵AB＝12，BP︰AP=1︰5，∴AP＝10，∴OP
＝4。由垂径定理可得△OPC 是直角三角形，并且 CD＝2CP。在 Rt△OCP 中，由勾股定理 CP＝
，∴CD＝ ，故选 D。
4. B 解析：延长 DO 交⊙O 于 E，过点 O 作 OF⊥AB 于 F，则 CE＝8 厘米。由相交弦定理，
得 DC·CE＝AC·CB，所以 AC·2 AC＝2×8，故 AC＝2 （厘米），从而 BC＝4 厘米。
由垂径定理，得 AF＝FB＝ （2 ＋4 ）＝3 （厘米）．所以 CF＝3 －2
＝ （ 厘米）。在Rt△COF 中，OF＝ ＝ ＝ （厘米）。
5. D 解析：连接 BE，
B
P
O
C
D
A
2 2
3 2
5246 2222 =−=− OPOC 54
2
1 2 2 2 2 2
2 22 OFOC − 22 )2(3 − 78
∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C ，AB=8，∴AC= AB=4，
设⊙O 的半径为 r，则 OC=r-2，在Rt△AOC 中，∵AC=4，OC=r-2，∴OA2=AC2+OC2，即 r2=42+
（r-2）2，解得 r=5，∴AE=2r=10，
∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90°，在 Rt△ABE 中，∵AE=10，AB=8，∴BE=
=6，在 Rt△BCE 中，∵BE=6，BC=4，∴CE=
。
6. C 解析：因为 AB 是直径，因此∠C 是直角，∴BC= =8，∵OD⊥BC，根据垂径
定理，BD 等于 BC 的一半，所以 BD=4。故选 C。
7. A 解析：连接 BC、BD、OD，
则 OD、BC 交于 E。由于 AD 平分∠BAC，所以 ，所以 OD⊥BC，又半圆 O 的直
径 AB＝10cm，弦 AC＝6cm，所以 BC＝8cm，所以 BE＝4，又 OB＝5cm，所以 OE＝3cm，所以 ED
＝5－3＝2（cm），在Rt△BED 中，BD＝ ＝ cm，又∠ADB＝90°，所以 AD＝
＝4 cm。故选 A。
8. 6 解析：因为 BD 为⊙O 的直径，根据圆周角定理，得：∠C=∠D，∠DAB=90°。
又因为，∠BAC=120°，AB=AC，所以，∠C=∠CBA=∠D=30°，∠DBA=60°，所以，∠DBC=30°。
在 Rt 直角三角形 ABD 中，有：cos30°= ，又 AD=6，所以，BD= 4 ，
连接 DC，则∠BCD=90°，在 Rt 直角三角形 BCD 中，∠DBC=30°，BD=4 ，
得：cos30°= ，BC=4 × =6．
9. 解析：（1）连接 OA、OD，
则 OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵D为 BE 的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD=90°，
∴∠OAD+ ∠OFD=90°，∵∠OFD=∠AFC，∴∠OAD+∠AFC=90°，∵AC=FC，∴∠FAC=∠AFC，
2
1
2222 810 −=− ABAE
13246 2222 =+=+ BCBE
2 210 6−
BDCD =
2 2DE BE+ 2
2 2AB BD- 5
BD
AD =
2
3
6 3
3
BD
BC 3 2
39
∴∠OAD+∠FAC=90°，∴AC 是⊙O 的切线。
（2）BF=8，DF= ，∴OF=8－r，∴在直角三角形 OFD 中，r2+（8－r）2= ，解
得，r=2。
10. 解析：（1）连接 OB，
∵弦 AB⊥OC，劣弧 AB 的度数为 120°，∴∠COB=60°，又∵OC=OB，∴△OBC 是正三角
形，∴BC=OC=2。
（2）证明：∵BC=CP，∴∠CBP=∠CPB，∵△OBC 是正三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠CBP=30°，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，∴OB⊥BP，∵点 B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O
的切线。
11. 解析：（1）连接 BD，
则∠DBE90．∵四边形 BCOE 是平行四边形，
∴BC∥OE，BCOE1。在 Rt△ABD 中，C 为 AD 的中点，∴BC AD1。∴AD2。
（2）连接 OB，由（1）得 BC∥OD，且 BCOD，∴四边形 BCDO 是平行四边形。
又∵AD 是⊙O 的切线，∴OD⊥AD。∴四边形 BCDO 是矩形。∴OB⊥BC，∴BC 是⊙O 的切
线。
12. 解析：（1）证明：连接 OA，
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA 是⊙O 的切线。
（2）在 Rt△OAP 中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，
∵PD= ，∴2OA=2PD=2 。∴⊙O 的直径为 2 。
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