1
构造相似三角形解题
构造相似三角形的基本方法
1. 由平行得相似，如图①和②；
2. 由同角或等角得相似，如图③；
3. 由垂直得相似，如图④。
方法归纳：在较为复杂的图形中，我们一般通过特殊图形（如等腰三角形、平行四边形、
圆等）的边或角构造相似三角形，如需添加辅助线，应考虑添加辅助线后能构成相等的角或
比例线段，如：过中点（或等分点）作平行线，过某点作平行或垂直等。
总结：
1. 学会构造相似三角形的方法和技巧，能熟练地将边和角划分到相关的相似三角形中。
2. 能够综合运用相似三角形的判定和性质解决较为复杂的问题。
例题 如图所示，四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形 ，则 AG∶DF∶CE＝（ ）
A. 1∶1∶1 B. 1∶2∶1 C. 1∶ 2∶ 3 D. 1∶ 2∶1
解析：不难证明△ABG≌△CBE，所以 AG＝CE。那么，本题只要求 AG∶DF 即可。要求 AG
和 DF 的比需要构造一个含有这两条线段的相似三角形，并且这对相似三角形的相似比要能
求出来。在正方形中，边长和对角线的比是可求的，所以本题可试着连接 BF 和 BD，通过三
角形相似来求解。
答案：连接 BF、BD。因为∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝∠ABE－90°，∠CBE＝∠ABE－∠ABC
＝∠ABE－90°。所以∠ABG＝∠CB E，又 AB＝BC，BG＝BE，所以△ABG≌△CBE，所以 AG＝
CE。因为∠DBF＝∠ABE－∠ABD－∠EBF＝∠ABE－45°－45°＝∠ABE－90°，所以∠DBF＝
∠ABG。又因为所有正方形都相似，所以这两个正方形的对角线的比 BD∶BF、边长的比 AB∶
BG，都等于这两个正方形的相似比，即 BD∶BF＝AB∶BG，所以 AB∶BD＝BG∶BF，所以
△ABG∽△DBF。所以 AG∶DF＝BG∶BF＝ 1∶ 2。所以 AG∶DF∶CE＝1∶ 2∶1。故选 D。
图① 图② 图③ 图④
A
B C
D
E
F
G2
点拨：本题难度大，特别是确定 AG 和 DF 的关系是一大难点。解答这类难题，我们束手
无策时，一定要展开联想，寻找问题的突破口。如：线段的比往往要通过相似形来求；四边
形常常要连接对角线；两个正方形变换形成的三角形中可能有全等三角形；正方形边长和对
角线的比是 1∶ 2。
利用相似三角形求线段的比例关系时，有些题目根本无法将所求线段构造成相似三角形
的对应线段，此类问题通常用如下的方法过渡：再构造一个与之相似的三角形，利用相似三
角形的传递性解题；把不能划分到相关相似三角形中的线段进行等量代换等。
例题 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是 BC 上的一个动点，
连接 DE，交 AC 于点 F。
（1）如图①，当
CE
EB＝
1
3时，求
S △ CEF
S △ CDF的值；
（2）如图②，当 DE 平分∠CDB 时，求证：AF＝ 2OA；
（3）如图③，当点 E 是 BC 的中点时，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，求证：CG＝
1
2BG。
解析：（1）利用相似三角形的性质求得 EF 与 DF 的比值，因为△CEF 和△CDF 同高，
所以其面积的比就是 EF 与 DF 的比值；（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF＝∠AFD，
可以证得 AD＝AF，在直角△AOD 中，利用勾股定理可求得 AD＝ 2OA，从而得出 AF＝ 2OA；
（3）连接 OE，易证 OE 是△BCD 的中位线，然后根据△FGC 是等腰直角三角形，易证
△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可得证。
答案：（1）解：∵
CE
EB＝
1
3，∴
CE
BC＝
1
4。∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△CEF∽△ADF，∴
EF
DF＝
CE
AD，∴
EF
DF＝
CE
BC＝
1
4，∴
S △ CEF
S △ CDF＝
EF
DF＝
1
4。
（2）证明：∵DE 平分∠CDB，∴∠ODF＝∠CDF，又∵AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线。
∴∠ADO＝∠FCD＝45°，∠ AOD＝90°，OA＝OD，而∠ADF＝∠ADO＋∠ODF，∠AFD＝∠FCD＋
∠CDF，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，在直角△AOD 中，根据勾股定理得：AD＝ OA2＋OD2＝
2OA，∴AF＝ 2OA。
（3）证明：连接 OE，∵点 O 是正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点。∴点 O 是 BD 的
A
B C
D
E
F
G3
中 点 。 又 ∵ 点 E 是 BC 的 中 点 ， ∴OE 是 △BCD 的 中 位 线 ， ∴OE∥CD ， OE ＝
1
2CD ，
∴△OFE∽△CFD 。 ∴
EF
DF＝
OE
CD＝
1
2， ∴
EF
ED＝
1
3。 又 ∵FG⊥BC ， CD⊥BC ， ∴FG∥CD ，
∴△EGF∽△ECD，∴
GF
CD＝
EF
ED＝
1
3。在直角△FGC 中，∵∠GCF＝45°，∴CG＝GF，又∵CD＝
BC，∴
GF
CD＝
CG
BC＝
1
3，∴
CG
BG＝
1
2。∴CG＝
1
2BG。
点拨：本题是勾股定理、三角形的中位线定理，以及相似三角形的判定与性质的综合应
用，理解正方形的性质是关键。
（答题时间：45 分钟）
一、选择题
*1. 如图所示，已知 AD∥EF∥BC，若 AD∶EF∶BC＝1∶2∶4，则梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的
面积之比为（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3
*2. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，M、N 为 BD 所在直线上的两点，且 AM＝ 5，∠MAN＝
135°，则四边形 AMCN 的面积为（ ）
A.
3
2 B. 2 C.
5
2 D. 3
**3. 如图所示，已知在平行四边形 ABCD 中，M、N 为 AB 的三等分点，DM、DN 交 AC 于 P、
Q 两点，则 AP∶PQ∶QC＝（ ）
A. 1∶1∶3 B. 3∶2∶5 C. 5∶3∶12 D. 5∶4∶10
A
B C
D
E F
A
B
C
DM N4
**4. 如图所示，四边形 ABCD 是一个矩形，AD＝12、AB＝5，P 是 AD 上任意一点，PE⊥BD
于点 E，PF⊥AC 于点 F。则 PE＋PF＝（ ）
A.
48
13 B.
60
13 C. 5 D.
70
13
二、填空题
5. 如图，在等边△ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝
3，CE＝2，则△ABC 的边长为__________。
*6. 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝13，BC＝10，D 是 AB 的中点，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，
则 DE 的长是______________。
*7. 如图，△ABC 中，AB＝9，AC＝6，点 E 在 AB 上且 AE＝3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若
△AEF 与△ABC 相似，则 AF＝__________。
**8. 如图所示，点 C 在线段 BG 上且四边形 ABCD 是正方形，AG 与 BD、CD 分别相交于点
E、F，如果 AE＝5 且 EF＝3，那么 FG＝__________。
A
B C
D
E
A B
CD
M N
P
Q
A
B C
D
P
E
F
A
B CD
E5
三、解答题
9. 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，D 是△ABC 的外接圆的︵
BC上任一点，连接 AD、BD。求
证：
BE
BD＝
AE
AB。
*10. 如图所示，△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于点 E。求
证：DE2＝BE·CE。
**11.如图所示，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E 是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线
于点 F。求证：
AB
AC＝
DF
AF。
**12. 如图所示，F 为正方形 ABCD 的边 AB 的中点，E 为 AD 上的一点，AE＝
1
4AD，FG⊥CE
于点 G。求证：FG2＝EG·CG。
A
B C
D
E
E
F
D
A
B C
A
B CD
E
F
A
B C
D
E
F
G
5
367
1. C 解析：延长 BA、CD 交于点 O，则△OAD∽△OEF∽△OBC，设 S △OAD＝s，则 S△OEF＝
4s，S△OBC＝16s，所以 S 梯形 AEFD∶S 梯形 EBCF＝3S∶12S＝1∶4。
2. C 解析：过点 A 作 AE⊥BD 于点 E，则点 E 是 BD 中点。在 Rt△AEM 中，AM＝ 5，AE＝
2
2 ，∴ME＝
3
2 2，∴BM＝ 2。∵∠MAN＝135°，∴∠MAB＋∠NAD＝45°，又∠AND＋∠NAD
＝ ∠ ADB ＝ 45° ， ∠AMB ＋ ∠MAB ＝ ∠ ABD ＝ 45° ， ∴∠AND ＝ ∠MAB ， ∠NAD ＝ ∠AMB ，
∴△AND∽△MAB，∴
DN
AB＝
AD
BM，即
DN
1 ＝
1
2，∴DN＝
2
2 。∴MN＝BM＋BD＋DN＝ 2＋ 2＋
2
2 ＝
5
2 5，又△AMN 和△CMN 面积相等，∴四边形 AMCN 的面积是 2×
1
2×MN×AE＝2×
1
2×
5
2 2×
2
2 ＝
5
2。
3. C 解析：∵DC∥BA，∴△APM∽△CPD，∴
AP
PC＝
AM
DC＝
1
3，∴AP＝
1
4AC。同理
AQ
QC＝
AN
DC＝
2
3，∴AQ
＝
2
5AC 。∴PQ＝
2
5AC－
1
4AC＝
3
20AC，又 QC＝
3
5AC，∴AP∶PQ∶QC＝
1
4∶
3
20∶
3
5＝5∶3 ∶12。
4. B 解析：根据题意可得 AC＝BD＝13 且△PDE∽△BDA、△PAF∽△CAD，所以
PD
BD＝
PE
BA，
PA
CA
＝
PF
CD，即
PD
13＝
PE
5 ，
PA
13＝
PF
5 ，所以 PD＝
13
5 PE，PA＝
13
5 PF，所以 PD＋PA＝
13
5 （PE＋PF）＝AD，
即
13
5 （PE＋PF）＝12，所以 PE＋PF＝
60
13。
5. 9 解析：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAD＋∠CAD＝60°。∵∠CAD＋∠ADE＋∠CDE＋∠
C＝180°，∠C＝60°，∠ADE＝60°，∴∠CAD＋∠CDE＝60°。∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠
C＝60°，∴△BAD∽△CDE，∴
AB
BD＝
CD
CE，设△ABC 的边长为 x，则
x
3＝
x－3
2 ，解得 x＝9。
6.
60
13 解析：过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F。则△AGC∽△BFC，∴
AC
BC
＝
AG
BF。∵AB＝AC，AG⊥BC，BC＝10，∴BG＝5，AG＝ AB2－BG2＝12。∴
13
10＝
12
BF，∴BF＝
120
13 。∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，又点 D 是 AB 的中点，∴DE＝
1
2BF＝
60
13。
A
B
C
DM NE8
7. 2 或
9
2 解析：当△AEF∽△ABC 时，则
AE
AF＝
AB
AC，即
3
AF＝
9
6，∴AF＝2；当△AEF∽△ACB
时，则
3
AF＝
6
9，AF＝
9
2。∴AF＝2 或
9
2。
8.
16
3 解析：设正方形 ABCD 的边长为 a，由△ADE∽△GBE 得
a
a＋CG＝
5
3＋FG ①；由△ADF
∽△GCF 得
a
CG＝
8
FG，即
a
a＋CG＝
8
8＋FG ②。由①②可得
5
3＋FG＝
8
8＋FG，解得 FG＝
16
3 。
9. 证明：∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C，∵∠D＝∠C，∴∠ABE＝∠D，又∵∠BAD＝∠BAE，
∴△ABE∽△ADB，∴
BE
BD＝
AE
AB。
10. 证明：连接 AE，∵EF 垂直平分 AD，∴AE＝DE，∠FAE＝∠FDE。∵∠B＝∠FDE－∠
BAD，∠CAE＝∠FAE－∠CAD，又∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠CAE。又∵∠AEB＝∠CEA，∴△ABE
∽△CAE，∴
AE
BE＝
CE
AE，∴
DE
BE＝
CE
DE，即 DE2＝BE·CE。
11. 证明：由∠BAC＝90°，AD⊥BC 易得△ABD∽△CBA，∴
AB
AC＝
BD
AD。∵∠ABD＋∠DAF＝90
°，∠ABD＋∠C＝90°，∴∠DAF＝∠C。又∵点 E 是 Rt△ADC 斜边 AC 的中点，∴ED＝EC，∴∠
C＝∠CDE，又∠CDE＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DAF。又∠F＝∠F，∴△ADF∽△DFB，∴
BD
AD＝
DF
AF，∴
AB
AC＝
DF
AF。
12. 证明：连接 EF、CF。由 AE＝
1
4AD，AF＝BF＝
1
2AB，四边形 ABCD 为正方形，得
AE
AF＝
BF
BC＝
1
2。∵∠A＝∠B＝90°，∴△EFA∽△FCB，∠1＝∠2。∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90
°，∴∠ EFC＝90°。∵FG⊥CE，易证△EFG∽△FCG，∴
FG
EG＝
CG
FG，∴FG2＝EG ·CG。
A
B C
D
E
F
G
E
F
D
A
B C9
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