1
解决圆锥问题的四字秘诀
关于圆锥的侧面展开图计算问题在中考中时常出现，这类问题的解答，可 以用四个字
来概括：一、二、三、四。其中：
“一个转化”，是指将圆锥侧面问题转化为平面图形——扇形问题；
“二个对应”，是指圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半
径；
“三个图形”，是指圆锥侧面问题常常需要用到圆形、扇形、直角三角形来解决；
“四个公式”，是指圆锥侧面问题需要用
①l2=r2+h2，其中，如图，圆锥的底面半径 r，圆锥母线 ι，圆锥的高 h，构成直角三
角形；
②
③S 侧= ·2πr·ι=πrι
④ 。
圆锥侧面问题公式的灵活应用
圆锥侧面问题四个 公式共有 5 个量：l、h、r、n、S 侧，由于每个公式中只有三个量，
从而只要知道其中的两个量，就可以将另外三个量利用方程或方程组求出来。
一、 计算圆心角的度数
例题 1 （浙江中考）若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥
侧面展开图的圆心角是（ ）
A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°
解析：因为此圆锥为正圆锥，所以圆锥底面圆的直径等于展开图扇形的半径，然后利用
弧长公式求解。
解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 n，半径为 r，则圆锥的底面直径也为 r，根据
圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得 ，解得 n=180°。
答案：D
点拨：在解决圆锥与展开图有关问题时，可以利用“圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆
2
1
2= 360
nS lπ侧
2=S rl rπ π+全
180
n r r
π π=2
锥底面圆的周长”这一规律解决问题。
二、计算圆锥的底面积
例题 2 如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是 13cm，高是 12cm，则该圆锥形底面圆的面
积是（ ）
A. 10πcm2 B. 25πcm2 C. 60πcm2 D. 65πcm2
解析：作出圆锥的轴切面图，再根据等腰三 角形“三线合一”的性质转化为直角三角
形，利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径， 进而求出其面积。
解：作出圆锥的轴切面图及高，如图，则 AB＝13cm，AD＝12cm，AD⊥BC，BC＝2BD，所
以 BD＝5 cm，因而底面圆的面积为 πr2＝25π（cm2），故选 B。
答案：B
点拨：圆锥的轴切面图为等腰三角形，等腰三角形底边上的高为圆锥的高，腰为圆锥的
母线长，底边为圆锥底面圆的直径，圆锥轴切面的相关计算通常转化为直角三角形，再利用
勾 股定理进行计算。
三、计算圆锥的侧面积
例题 3 在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半
径为 1，高为 2 ，则这个圆锥的侧面积（ ）
A. 4π B. 3π C. 2 π D. 2π
解析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再代入圆锥侧面积的公式计算即可。
解：∵圆锥的底面半径为 r=1，高为 2 ，∴圆锥的母线长 l= ，∴
圆锥的侧面积= =π×1×3=3π，故选 B。
答案：B
点拨：这类题要熟记圆锥的侧面积公式 S=πrl 及圆锥的高 h、母线 l、底面半径为 r 的
关系： 。解决这类问题的方法有：①列式计算，②运用方程思想列方程来计算。
2
2
2 ( )221 2 2 3+ =
rlπ
2 2 2l r h= +3
计算线路最短问题
满分训练 如图，圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，A 是底面圆周上一点，一只小虫
从点 A 出发，绕侧面爬行一周，再回到点 A 的最短的路线长是多少？
解析：我们知道“两点之间， 线段最短”，沿母线 SA 作侧面展开图如图，本题实际是
求将圆锥的侧面沿着母线 OA 展开，求点 A 到 A′的距离 AA′。
解：将圆锥沿母线 SA 作侧面展开图，得扇形 O AA′，
设扇形的圆心角为θ，因为圆锥的底面半径为 r=1，母线长为 3，根据 2πr= ，得
2π×1= ，所以θ=120°。即扇形的圆心角∠AOA′为 120°，作 OD⊥AA′，垂足为
D，在 Rt△AOD 中，∠OAD=30°，OA=3。所以 OD= ，据勾股定理，得可求得 AD= ，所
以 AA′=2AD= 。
答案：
点拨：小虫从点 A 出发，绕圆锥侧面爬行，从圆锥上看是曲线，而在侧面展开图上看是
直线，“化曲为直”是解决此类问题的关键。
（答题时间：30 分钟）
1. 用半径为 3cm，圆心角是 120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为
（ ）
A. 2πcm B. 1.5cm C. πcm D. 1cm
2. 已知圆锥的底面半径为 6cm，高为 8 cm，则这个圆锥的母线长为（ ）。
A. 12cm B. 10cm C. 8cm D. 6cm
180
lθπ
180
3×θπ
3
2 2
33
33
334
3. 圆锥底面圆的半径为 3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
4. 若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线 l 与底面半径 r 的关系是（ ）
A. l＝2r B. l＝3r C. l＝r D. l＝
*5. 一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心 角是 °。
6. 圆锥的侧面积为 6 cm2，底面圆的半径为 2cm，则这个圆锥的母线长为 cm
*7.已知一个扇形的半径为 60 厘米，圆心角为 150°。用它围成一个圆锥的侧面，那么圆
锥的底面半径为 厘米。
*8. 若圆锥的母线长为 5cm，底面圆的半径为 3cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2
（结果保留 π）。
*9. 用半径为 10cm，圆心角为 216°的扇形作一个圆锥的侧面，求这个圆锥的高。
**10. 如图所示的一扇形纸片，圆心角∠AOB 为 120°，弦 AB 的长为 ，用它围成
一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求该圆锥底面的半径。
*11. 已知圆锥的底面周长是 10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为 90°，求该圆锥的
母线长。
**12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线 AB 与高 AO 的夹角。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3
2
π
2 3cm5
1. D 解析：依题意，得这个圆锥的底面半径＝ ÷2π＝1，故选 D。
2. B 解析：先根据半径与高互相垂直，然后利用勾股定理求母线长。∵ r2＋h2＝l2，∴
62＋82＝l2，∴ l＝10㎝，故选 B。
3. B 解析：圆锥的母线长=圆锥的底面周长× =2×π×3× =6cm。故选 B。
4. A 解 析 ： 根 据 以 上 分 析 ， 则 圆 锥 的 底 面 周 长 为 ， 展 开 图 扇 形 弧 长 是
，因此 ，则
l＝2r，故选 A。
*5. 180° 解析：设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r， 圆心角 n，则 ，即
，∴侧面展开图扇形的圆心角为 n=360°× =180°。故答案为 180°。
6. 3 解析：设圆锥的母线长为 R，因底面圆的半径为 2cm，所以底面圆的周长=侧面扇形
的弧长=2 ×2=4 ，又扇形的面积= ×4 ×R=6 ，解得 R=3，故填 3。
*7. 25 解析：设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的母线长 R=60 cm，因为圆锥的底面周长等
于其侧面展开图的弧长，所以 2πr= ，解得 r=25。
*8. 15π 解析：∵圆锥的侧面积 S=πrl，，r=3 cm，l=5∴S=15π cm2。
*9. 解析：扇形的弧长是： =12π（cm），设圆锥的底面半径是 r，则 2πr=12π，
解得：r=6cm，则圆锥的高是： =8（cm）。
**10. 解析：过 O 点作 OE⊥AB，垂足为点 E，∵OA=OB，AB= cm，∴AE= cm，
∠AOE=60º ， ∴OA=2cm ， ∴ 弧 AB 的 长 ， 设 该 圆 锥 底 面 的 半 径 为 r ， ∴
，∴r= cm。
*11. 解析：设圆锥的母线长为 l。∵圆锥的底面周长是 10π，∴圆锥侧面展开图（扇形）
的弧长是 10π。∵侧面展开后所得扇形的圆心角为 90°，∴ 。∴l＝20，即该
圆锥的母线长是 20。
**12. 解析：因为 2 r= l。 所以 l=2r，所 以 sin∠BAO= ，所以∠BAO=30°，所
以母线 AB 与高 AO 的夹角为 30°。
120 3
180
π× ×
180
180π
180
180π
2 rπ
180
180
l l
π π= 2 r lπ π= 2 22 2 1 8 4 2 2 2 2( ) ( )180 2 2 4 2 2
n ll x
ππ π − − −= < +
22rl rπ π= 2l r=
r
l
π π 1
2
π π
180
Rnπ
216 10
180
π ×
2 210 6−
32 3
180
2120 ×= π
180
21202 cmr
×= ππ
3
2
9010 180
lππ =
π π 1
2
r
l
=
微信/支付宝扫码支付