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与圆有关的角
角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。圆的特征赋予角
极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。
1. 圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半。
说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转
化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的
位置进行探索。
2. 圆周角定理推论：
推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º 的圆周角所对的弦是直径。
推论 2：圆内接四边形的对角互补。
说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；
由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。
3. 弧、弦、圆心角之间的关系：
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组
量也相等。
说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。
4. 切线性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径
说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解
决 。
示例：如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点 C，若∠BAO=40°，则∠OCB
的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 65° D. 75°
O
B
A
C
D2
解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同
时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。
解：∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又
∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC= （180°－50°）=65°，故选 C。
例题 已知直线 l 与⊙O，AB 是⊙O 的直径，AD⊥l 于点 D。
（1）如图①，当直线 l 与⊙O 相切于点 C 时，若∠DAC=30°，求∠BAC 的大小；
（2）如图②，当直线 l 与⊙O 相交于点 E、F 时，若∠DAE=18°，求∠BAF 的大小。
解析：（1）连接 OC，由已知及切线的性质推 AD∥OC，进而根据 OA=OC，推∠DAC、
∠ACO、∠CAO 的关系；（2）连接 BF，根据已知条件利用直 角三角形两直角互余求建立等
量关系，再根据圆内接四边形对角互补转化关系，最后求∠BAF。
答案：解：（Ⅰ）如图，连接 OC。
∵直线 l 与⊙O 相切于 点 C 时，∴OC⊥l，得∠OCD=90°。由 AD⊥l，得∠ADC=90°。
∴AD∥OC ， ∴∠ACO=∠DAC ， 在 ⊙O 中 ， 由 OA=OC ， 得 ∠BAC=∠ACO ， ∴∠BA
C=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如图，连接 BF。
∵AB 为⊙O 直径，，∴∠FAB+∠B=90°。
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∵AD⊥l，∴∠DAE+∠AED=90°。
∵∠AED+∠AEF=180°，
又∵在⊙O 中，四边形 ABFE 是圆内接四边形，有∠AEF+∠B=180°，
∴∠AED =∠B，
∴∠FAB=∠DAE。
∵∠DAE=18°，
∴∠BAF=18°。
点拨：1. 有切线和切点，常做切半径作为辅助线，转移相关的角；2. 直径对的圆周角
是直角、圆内接四边形的对角互补等性质是在圆中推导角的关系时常用的性质。
圆中的角在开放性问题中的应用
满分训练 如图，△ABC 内接于⊙O，且 AB 为⊙O 的直径。∠ACB 的平分线 CD 交⊙O 于
点 D，过点 D 作⊙O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，过点 B 作
BF⊥CD 于点 F。
（1）求证：DP∥AB；
（2）试猜想线段 AE、EF、BF 之间有何数量关系，并加以证明；
解析：（1）题须作“经过切点的半径”，是圆中解决和切线有关的问题时常用的辅助线；
理顺各角间的关系是解答本题的关键。（2）题须证明△ADE≌△DBF，利用圆周角定理找出 AD
＝BD 是解答本题的关键；
答案：（1）证明：连接 OD。∵PD 切⊙O 于点 D，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°
∵∠ACD＝∠BCD，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD＝ ∠AOB＝ ×180°＝90°，∴∠ODP＝∠BOD，∴PD∥AB。
（2）答：BF－AE＝EF。 证明如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝
90°。
∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AED＝∠BFD＝90°，∴∠FBD＋∠BDF＝90°，∴∠FBD＝
∠ADE。
∵∠AOD＝∠BOD，∴AD＝BD，∴△ADE≌△DBF。∴BF＝DE，AE＝DF，
∴BF－AE＝DE－DF＝EF，即 BF－AE＝EF。
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点拨：由于圆的切线垂直于过切点的半径，所以如果圆中有切线，一般作经过切点的半
径，构造直角三角形，在直角三角形中求角的度数；在同圆或等圆中，常借助圆周角的度数
等于它所对弧上的圆心角度数的一半，来寻求圆周角和圆心角之间的关系。
（答题时间：30 分钟）
1. （ 黔 西 中 考 ） 如 图 1 所 示 ， 线 段 AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 点 C 是 ⊙O 上 一 点 ，
，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则 等于（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，直线 CD 与以线段 AB 为直径的圆相切于点 D 并交 BA 的延长线于点 C，且 AB
＝2，AD＝1，P 点在切线 CD 上移动。当∠APB 的度数最大时，则∠ABP 的度数为（ ）
A. 15° B. 30° C. 60° D. 90°
3. （广东中考）如图，□ABCD 的顶点 A、B、D 在⊙O 上，顶点 C 在⊙O 的直径 BE 上，
∠ADC=54°，连接 BE，则∠AEB 的度数为（ ）
A. 36° B. 46° C. 27° D. 63°
P
OE
F
D
BA
C
20CDB∠ = ° E∠
50° 40° 60° 70°5
4. 如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为（0， 3），M 是第三
象限内 上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长（ ）
A. 6 B. 5 C. 3 D. 3
5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB 的大小为（ ）
A. 40° B. 30° C. 50° D. 60°
6. 如图，已知△ABC 内接于⊙O，BC 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 相切，切点为 A，若
∠MAB=30°。则∠B= 度。
7. 如图，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，若∠P=70°，则∠ C 的大小为 。
8. （济南中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，∠BAD=35°，过点 D 作⊙O 的切
线交 AB 的延长线于点 C，则∠C=__________度。
A
O
B
C
M
N
OB
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9.在⊙O 中，直径 AB⊥CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F，且 CF⊥AD。求∠D 的度数。
10.如图 AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 E，K 为 上一动点，AK、DC 的延长线
相交于点 F，连接 CK、K D。
求证：∠AKD＝∠CKF
AC7
1. A 解析：连接 OC，
∵CE 为切线，∴∠OCE=90º∵ ，∴∠COE=40º，∴∠E=50º。故选 A。
2. B 解析：∵如图所示，连接 OD，BD，
由切线的性质可知，OD⊥CD，OA＝OD＝AD＝1。∴△AOD 为等边三角形，∠DAO＝∠AOD＝
60°，∠CDA＝90°－60°＝30°， 又∵∠DCA＝90°－60°＝30°，∴当∠APB 的度数最大
时，P 点移动到 D 点的位置，即∠CDA＝∠DCA＝30°。∴∠ABD＝30°。故答案为 B。
3. A 解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠ADC=54°。
∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BAE=90º，∴∠AEB=90º－∠B=90º－54º=36º。故选 A。
4. C 解 析 ： 连 结 OC ， ∵ 点 A 、 B 、 M 、 O 四 点 共 圆 ， ∴∠BMO +∠BAO=180° ，
∵∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AC=OC，∴△OAC 是等边三角形。∴OC=OA=3。故本题选
C。
5. C 解析：在⊙O 中，OA＝OB，所以∠ABO＝∠BAO＝40°，所以∠AOB＝100°，所以∠ACB
＝ ∠AOB＝50°。故选 C。
6. 60 解析：连接 OA，
20CDB∠ = °
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则 OA⊥MN ， 由 于 ∠MAB=30° ， 所 以 ∠OAB=90° － 30°=60° ， 而 OA=OB ， 所 以
∠B=∠OAB=60°。
7. 55° 解析：如图，连接 OA、OB，
∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，∴∠PAO=∠PBO=90°，又∠P=70°，∴∠AOB=360°－
90°×2－70°=110°，∴∠C= 。
8. 20 解析：连接 OD，
则∠ODC=90°，∠DOC=2∠BAD=70°，因此∠C=90°－70°=20°。
9. 解析：连接 BD，
∵AB⊙O 是直径，∴BD ⊥AD。又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC=∠C。又∵∠BDC=
∠BOC，∴∠C= ∠BOC，∵AB⊥CD，∴∠C=30°，∴∠ADC＝60°。
10. 解析：证明：连接 AD，∵∠CKF 是圆内接四边形 ADCK 的外角，∴∠CKF＝∠ADC，
∵AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∴ ＝ 。∴∠ADC＝∠AKD。∴∠AKD＝∠CKF
A
O
B
C
M
N
1 552 AOB∠ =
2
1
2
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AD AC9
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