1
认识圆的轴对称性
1. 垂径定理的内容
垂径定理：垂直于非直径的弦的 直径，平分弦且平分弦所对的两段弧。
符号语言：如图，圆 O 中，如果直径 CD⊥AB 于 E，
那么有结论：AE＝BE， ＝ ， ＝ 。
说明：
（1）垂径定理是由圆是轴对称图形（直径所在的直线是对称轴）得来的。
（2）定理中为什么不能遗忘“不是直径”这个附加条件？因为若是直径，由于两条直
径总是互相平分的，因此不会有垂径定理的其他结论。
（3）概括成一句话：直径平分弦（不是直径）
（4）一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤
平分弦所对的优弧。这五个条件只需知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外）。
2. 垂径定理的应用
垂径定理在中考中经常和勾股定理结合使用：如图，如果直径 CD ⊥AB 于 E，当我们连
接圆心 O 和点 A 时，利用垂径定理可以得到直角三角形 OAE，进而可以利用勾股定理进行相
关的 计算。
例如：直径 CD ⊥AB 于 E，弦 AB＝2a，半 径为 r，求 OE、DE 的长。
由 AB＝2a，根据垂径定理可以得到 AE＝a，进而，DE＝r－OE＝r－
利用垂径定理和勾股定理解决圆中的相关计算问题
例题 1（西青区二模）如图，在半径为 5 的⊙O 中，AB、CD 是互相垂直的两条弦，垂足
为 P，且 AB＝CD＝8，求 OP 的长。
2 2r a−
AD BD CA CB2
解析：作OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，连接 OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得 OM 的长，
然后判定四边形 OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得 OM 的长。
解：作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，连接 OP，OB， OD，
∵AB＝CD＝8，
∴BM＝DN＝4，
∴OM＝ON＝
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形 MONP 是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形 MONP 是正方形，
∴OP＝
点拨：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是
解答此题的关键。
例题 2（长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过
圆心 O，另一边所在直线与半圆相交于点 D、E，量出半径 OC＝5cm，弦 DE＝8cm，求直尺的
宽。
解析：这是一个关系到弦长和半径的问题，因此我们考虑运用垂径定理来解决。
解：过点 O 作 OM⊥DE 于点 M，连接 OD。
∴DM＝ DE。
∵DE＝8，
∴DM＝4。
在 Rt△ODM 中，∵OD＝OC＝5，
∴OM＝ ＝
∴直尺的宽度为 3cm。
点拨：这是一个非常贴近学生生活的实际问题，由问题背景我们可以发现，利用垂径定
理构造出合适的直角三角形来解决此类问题。
2 25 4 3− =
3 2
1
2
2 2OD DM− 2 25 4 3− =3
应用垂径定理解决开放性的问题
例题 不过圆心的直线 交⊙O 于 C、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE⊥ 于 E，BF⊥ 于
F。
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再
标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中 ，不写推理过程）；
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。
解析：这是一道开放性试题，首先要根据直线 与 AB 的不同位置关系画出不同的图形
（如下图），①直线 与 AB 平行；②直线 与 AB 相交；③直线 与 AB 或 BA 的延长线相交。
其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论。
解 ：（1）如下图所示。
图 1 图 2 图 3
（2）EC＝FD 或 ED＝FC
（3）以①图为例来证明。过 O 作 O H⊥ 于 H
∵AE⊥ ，BF⊥ ，∴AE∥OH∥BF
又∵OA＝OB，∴EH＝HF，再由垂径定理可得 CH＝DH
∴EH－CH＝FH－DH，即 EC＝FD
（答题时间：30 分钟）
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
B. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；
C. 若两段弧的度数相等，则它们是等弧；
D. 弦的垂线平分弦所对的弧。
2. 如图，⊙O 中，直径 CD＝15cm，弦 AB⊥CD 于点 M，OM∶MD＝3∶2 ，则 AB 的长是（ ）
•
①
•
②
•
③
l
•
问题一图 1
O
H FE DC
B
A l
•
问题一图 2
O
H F
E
DC
B
A
l
•
问题一图 3
O
H FE DC
BA
l l l
l
l l l
l
l l4
A. 7.5cm B. 15cm C. 12cm D. 12.5cm
3. 已知⊙O 的半径为 10cm，弦 AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则 AB 和 CD 的距离是（ ）
A. 2cm B. 14cm C. 2cm 或 14cm D. 2cm 或 12cm
4. 若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高为 1，则圆的半径为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
5. 在半径为 5cm 的⊙O 中，有一点 P 满足 OP＝3 cm，则过 P 的整数弦有___________条。
6. 等腰△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝10 cm，则△ABC 的外接圆半径为________。
7. 圆内一弦与直径相交成 30°的角，且分直径为 1 cm 和 5 cm 两段 ，则此弦长为
_________。
8. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD⊥AC 于 D，BD 交 OC 于 E，若 AC＝4，AB＝5，则
BE＝_________。
9. 如图，已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点，C、A、D 三点在一条直线上，CD 的延长线交
O1 O2 的延长线于 P，∠P＝30°， ，则 CD＝________。
10. 如图，是一 块残破的圆轮片，A、B、C 是圆弧上的三点。
（1）作出弧 ACB 所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果 AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，求该残破圆轮片的半径。
11. 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与
AB、BC 分别交于点 D、E，求 AB、AD 的长。
2
3
2
5
3221 =OO5
12. 如图，⊙O 的半径为 10cm，G 是直径 AB 上一点，弦 CD 经过点 G，CD＝16cm，AE⊥CD
于 E，BF⊥CD 于 F，求 AE－BF 的值。6
1. B 解析：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故 A 错误；
能重合的弧才是等弧，必须是弧所对的圆心角和所在圆的半径都相等的弧才能叫做等弧，
故 C 错误；只有弦的垂直平分线才能够平分弧，故 D 错误。
2. C 解 析 ： 连 接 AO ， ∵OM∶MD ＝ 3∶2 且 直 径 CD ＝ 15cm ， ∴ 易 求 得 ，
，根据已知条件易证△AMO 为 Rt△，
∴ cm，根据垂径定理可知 ，
∴AB 长为 12cm。所以 C 选项正确。
3. C 解析：本题在解题过程中一定要注意分类讨论的思想，通过分析题意，本题有两种
可能性，AB、CD 可能在圆心的同侧也可能在异侧，当 AB、CD 在同侧时，如图 1 所示，根据
条件易求得 ， ， ；当 AB、CD 在圆心的异
侧时， ， ， 。所以 C 选项正确。
4. D 解析：本题涉及一个概念——弦高，所谓弦高是指弦的垂直平分线与劣弧的交点与
垂 足 之 间 的 线 段 长 。 ∴ 根 据 题 意 易 知 ， 如 图 所 示 ， 设 半 径 为 r ， ∴ ，
， ，再由勾股定理 ，就可求得 或
（舍），∴ 。所以 D 选项正确。
5.4 解析：由题意分析可知过点 P 的弦最短为 8，即过点 P 恰好与 OP 垂直的弦，最长为
10，即与 OP 重合的直径，8 与 10 中间还有一个整数 9，再据圆的轴对称性可知长度为 9 的
有两条，∴过点 P 的整数弦有 4 条。
6. cm 解析：如图所示，依据垂径定理以及勾股定理可求得，外接圆的半径为
cm。
15
2OA =
9
2OM =
2 2
2 2 15 9 62 2AM OA OM = − = − = 2AB AM=
8OH cm= 6OM cm= 2MH OH OM cm= − =
8OH cm= 6OM cm= 14MH OH OM cm= + =
1OM r= −
1
2BM r= − OB r= 2 2 2OM BM OB+ = 5
2r = 1
2r =
5
2r =
3
310
3
3107
7. cm 解析：根据题意易求得 ，又∵ ，∴ ，再在
Rt△DOH 中，据勾股定理可求得 ，∴ 。所以此弦长为 。
8. 解析：本题考查的知识点较多，包括垂径定理，相似，勾股定理等，连接
BC ， AB 为 ⊙O 的 直 径 ， AC 为 弦 ， OD⊥AC 于 D ， AC ＝ 4 ， AB ＝ 5 ， ∴BC ＝ 3 ， 易 证
，又∵O 是圆心，∴ ，∴ ，在 Rt△BCD 中，
据勾股定理，易求得 ，∴ 。
9. 6 解析：如图所示，分别过两个圆心作 CP 的垂线，∴ ，所以
要想求出 CD 的长度，只需要求出 MH 即可知道 CD 的长。 又过 作 于点 I，在
Rt△ 中根据勾股定理可求得 ，∴CD＝6。
10. 解析：①利用垂径定理得出 AC，BC 的垂直平分线，交点即是圆心，到任意一点的距
离即是半径；②利用垂径定理以及等边三角形的判定得出△OBC 是等边三角形，即可得出答
案。
解：（1）如图 1 所示：
（2）如图 2，∵AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°
I
H
M
D
A
O1 O2
P
C
24 2OP cm= 30APH∠ = ° 1OH =
2 2DH cm= 4 2DC cm= 4 2cm
3
132
DOE BCE△ △ =1:2OD BC： 2
3BE BD=
2 2 2 22 3 13BD DC BC= + = + = 2 133BE =
,CM MA AH HD= =
2O 2 1O I O M⊥
1 2O O I 2 3O I =8
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵AO＝CO，CO＝BO，
∴△AOC≌△COB，
∴∠CBO＝∠ACO＝60°，
∵BO＝CO，
∴∠OBC＝∠BCO＝60°，
∴△OBC 是等边三角形，
∴半径为 60cm。
11.解析：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，利用面积相
等建立等式 ，∴ ，在 Rt△ACH 中，可求得 ，
∴据垂径定理可得： 。
12. 解：连结 OC，过点 O 作 OM⊥CD 于 M，则 CM＝MD
∵CD＝16cm，AB＝8 cm，在 Rt△OMC 中，因 OC＝10 cm
∴OM＝ cm
∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BF
∴ ，
∴ c m
∴AE－BF＝2OM＝12 cm
1 1
2 2AB CH AC BC⋅ = ⋅ 12
5CH = 9
5AH =
182 5AD AH= =
6810 2222 =−=− CMOC
OG
AG
OM
AE =
OG
BG
OM
BF =
22 ==−=−
OG
OG
OG
BGAG
OM
BFAE
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