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专题检测18 矩形、菱形和正方形
(时间90分钟 满分100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.关于▱ABCD的叙述,正确的是(C)
A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形
B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形
C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形
D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形
2.下列判断错误的是(D)
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.四个内角都相等的四边形是矩形
C.四条边都相等的四边形是菱形
D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
3.
如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC等于(B)
A.5 B.4 C.3.5 D.3
4.
如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F.在下列结论中,不一定正确的是(B)
A.△AFD≌△DCE B.AF=AD
C.AB=AF D.BE=AD-DF 〚导学号92034197〛
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E,则AE的长是(D)
A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.4
(第5题图)
(第6题图)
6.如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上F处,则DE的长是(C)
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A.3 B. C.5 D.
7.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°,点A的坐标为(,0),则点B的坐标为 (D)
A.(,1) B.(1,)
C.(1,+1) D.(+1,1)
(第7题图)
(第8题图)
8.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H,则DH等于(A)
A. B. C.5 D.4
9.如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF;(3)AO=OE;(4)S△AOB=S四边形DEOF中正确的有(B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
(第9题图)
(第10题图)
10.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,EF,AF,则△AEF的周长为(B)
A.2 B.3 C.4 D.3
11.
如图是一张平行四边形纸片ABCD,要求利用所学知识将它变成一个菱形,甲、乙两位同学的作法分别如下:
甲:连接AC,作AC的垂直平分线交AD,BC于E,F,则四边形AFCE是菱形. 乙:分别作∠A与∠B的平分线AE,BF,分别交BC于点E,交AD于点F,则四边形ABEF是菱形.
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对于甲、乙两人的作法,可判断(C)
A.甲正确,乙错误
B.甲错误,乙正确
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误
12.
如图,正方形ABCD的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH.则线段GH的长为(B)
A. B.2
C. D.10-5 〚导学号92034198〛
二、填空题(每小题5分,共25分)
13.
如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点M,N分别为OB,OC的中点,则cos∠OMN的值为.
14.
如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.请你添加一个条件答案不唯一,如∠EDB=90°,AB=EB等,使四边形DBCE是矩形.
15.如图,正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若∠D=60°,BC=2,则点D的坐标是(2+,1).
(第15题图)
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(第16题图)
16.如图为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1 500 m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 100 m,则小聪行走的路程为4 600 m.
17.
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,3),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为(1,3)或(4,3)或(9,3).
三、解答题(共39分)
18.(12分)
如图,在四边形ABCF中,∠ACB=90°,点E是AB的中点,点F恰是点E关于AC所在直线的对称点.
(1)证明:四边形AECF为菱形;
(2)连接EF交AC于点O,若BC=10,求线段OF的长.
(1)证明∵∠ACB=90°,点E是AB的中点,
∴AE=EC.
∵点F恰是点E关于AC所在直线的对称点,
∴AC是EF的中垂线.
∴CE=CF,AE=AF.
∴AE=EC=CF=AF.
∴四边形AECF是菱形.
(2)解∵四边形AECF是菱形,
∴OA=OC,OF=OE.
∵点E是AB的中点,
∴EO是△ACB的中位线.
∴EO=BC=5.
∴OF=5.〚导学号92034199〛
19.(13分)
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.
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(1)证明在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE.
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°.
又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)解当AD=BC时,四边形ADCE是正方形.
证明:∵AB=AC,AD⊥BC于D,∴DC=BC.
又AD=BC,∴DC=AD.
由(1)知,四边形ADCE为矩形,
∴矩形ADCE是正方形.
20.(14分)已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
解(1)猜想:BM+DN=MN.
证明:如图,把△AND绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE,则E,B,M三点共线.
∴AE=AN,EB=DN,∠EAB=∠DAN.
∵∠BAD=90°,∠MAN=45°,
∴∠DAN+∠BAM=45°.
∴∠EAB+∠BAM=45°.∴∠EAM=∠NAM.
又∵AM=AM,∴△AEM≌△ANM.∴ME=MN.
∵ME=BE+BM=DN+BM,∴DN+BM=MN.
(2)猜想:DN-BM=MN.
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