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专题检测21 与圆有关的计算
(时间90分钟 满分100分)
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.已知一个扇形的圆心角是120°,面积是3π cm2,则这个扇形的半径是(B)
A.1 cm B.3 cm C.6 cm D.9 cm
2.如图,4个正方形的边长均为1,则图中阴影部分三个小扇形的面积和为(A)
A. B. C. D.
(第2题图)
(第3题图)
3.如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB',则点A运动的路径的长为(B)
A.π B.2π C.4π D.8π
4.如图,点A,B,C在☉O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为(C)
A.π-4 B.π-1 C.π-2 D.-2
(第4题图)
(第5题图)
5.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则的长为(C)
A.π B.π C.π D.π
6.如图,分别以五边形ABCDE的顶点为圆心,1为半径作五个圆,则图中阴影部分的面积之和为(C)
A.π B.3π C.π D.2π
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(第6题图)
(第7题图)
7.如图,圆锥的底面半径为r cm,母线长为10 cm,其侧面展开图是圆心角为216°的扇形,则r的值是(B)
A.3 B.6 C.3π D.6π
8.
如图,△PQR是☉O的内接正三角形,四边形ABCD是☉O的内接正方形,BC∥QR,则∠AOR= (D)
A.60°
B.65°
C.72°
D.75°〚导学号92034204〛
9.
如图,AC⊥BC,AC=BC=4,以BC为直径作半圆,圆心为点O,以点C为圆心,BC为半径作,过点O作AC的平行线交两弧于点D,E,则阴影部分的面积是(A)
A.-2
B.+2
C.2-
D.+ 〚导学号92034205〛
10.
如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次翻滚,则点
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B在两次翻滚过程中经过的路径的长是(A)
A.π B.13π C.25π D.25
二、填空题(每小题5分,共20分)
11.若一个圆锥的底面圆的半径为2,母线长为6,则该圆锥侧面展开图的圆心角为120°.
12.如图,AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器.若AO=45 cm,CO=5 cm,当AC绕点O顺时针旋转90°时,则雨刷器AC扫过的面积为500π cm2(结果保留π).
(第12题图)
(第13题图)
13.如图,A是半径为2的☉O外一点,OA=4,AB是☉O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,连接AC,则图中阴影部分的面积为π.
14.已知正三角形ABC的边长为6,则能够完全覆盖这个正三角形ABC的最小圆面的半径是2.
三、解答题(共40分)
15.(8分)
如图,☉O的内接正方形ABCD,E为边CD上一点,且DE=CE,延长BE交☉O于F,连接FC,若正方形ABCD的边长为1,求弦FC的长.
解连接BD.
∵CE=×1=,
∴BE==.
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在Rt△ABD中,BD==.
∵∠DBE=∠FCE,∠CFE=∠BDE,
∴△DEB∽△FEC.∴=.∴=.
∴FC=.〚导学号92034206〛
16.(10分)
如图,CD是☉O的弦,AB是直径,且CD∥AB.连接AC,AD,OD,其中AC=CD.过点B的切线交CD的延长线于E.
(1)求证:DA平分∠CDO;
(2)若AB=12,求图中阴影部分的周长之和(参考数据:π≈3.1,≈1.4,≈1.7).
(1)证明∵CD∥AB,∴∠CDA=∠BAD.∵AO=OD,
∴∠ADO=∠BAD.∴∠ADO=∠CDA.
∴DA平分∠CDO.
(2)解如图,连接BD,
∵AB是直径,∴∠ADB=90°.
∵CA=CD,
∴∠DAC=∠CDA.
∵CD∥AB,∴∠BAD=∠CDA.
∴∠BAD=∠CAD=∠CDA,∴==.
又∵∠AOB=180°,∴∠DOB=60°.
∵OD=OB,∴△DOB是等边三角形.
∴BD=OB=AB=6.∵=,∴BD=AC=6.
∵BE切☉O于B,∴BE⊥AB,
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=30°.
∵CD∥AB,∴BE⊥CE,
∴DE=BD=3,BE=BD·cos∠DBE=6×=3,
∴的长==2π,
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∴图中阴影部分的周长之和为2π+6+2π+3+3=4π+9+3≈4×3.1+9+3×1.7=26.5.
17.(10分)
如图所示,在△ABC中,∠ABC=120°,☉O是△ABC的外接圆,点P是上的一个动点.
(1)求∠AOC的度数;
(2)若☉O的半径为2,设点P到直线AC的距离为x,图中阴影部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解
(1)∵∠ABC=120°,四边形ABCP是圆内接四边形,
∴∠P=180°-120°=60°.
∴∠AOC=2∠APC=120°.
(2)过点O作OH⊥AC于H,
∵∠AOC=120°,OC=OA=2,
∴∠OAC=30°.
∴AH=OA·cos 30°=2×=,OH=OA=1.
∴AC=2AH=2.∴S△APC=AC·x=x.
∴y=S扇形AOC-S△AOC+S△APC=-×2×1+x=-+x(0≤x≤3).
18.(12分)
如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠D=60°且AB=6,过O点作OE⊥AC,垂足为E.
(1)求OE的长;
(2)若OE的延长线交☉O于点F,求弦AF,AC和围成的图形(阴影部分)的面积S.
解(1)∵∠D=60°,∴∠B=60°.又∵AB=6,∴BC=3.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵OE⊥AC,∴OE∥BC.又∵点O是AB中点,∴OE是△ABC的中位线.∴OE=BC=.
(2)
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连接OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,∠AEF=∠CEO=90°.∵OF=3,OE=,∴FE=OF-OE=,∴FE=OE,∴△COE≌△AFE,故S阴影部分=S扇形FOC.又∵OC=OB,∠B=60°,∴△OBC为等边三角形,∴∠BOC=60°.又∵OE∥BC,∴∠AOF=∠B=60°,∴∠FOC=60°,∴S扇形FOC==.即阴影部分的面积为.
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