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专题检测15 等腰三角形和直角三角形
(时间60分钟 满分100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,则下列结论错误的是(C)
A.DE=DC B.AD=DB
C.AD=BC D.BC=AE
2.若等腰三角形的两边长为3和7,则该等腰三角形的周长为(C)
A.10 B.13 C.17 D.13或17
3.如图,直线l1∥l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1,l2于点B,C,连接AC,BC.若∠ABC=67°,则∠1=(B)
A.23° B.46° C.67° D.78°
(第1题图)
(第3题图)
4.如图,在△ABC中,AB=AC=15,AD平分∠BAC,点E为AC的中点,连接DE,若△CDE的周长为21,则BC的长为(C)
A.16 B.14 C.12 D.6 〚导学号92034180〛
5.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1.已知A,B是两格点,若△ABC为等腰三角形,且S△ABC=1.5,则满足条件的格点C有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(第4题图)
(第5题图)
6.如图,∠MON=30°,且OP平分∠MON,过点P作PQ∥OM交ON于点Q.若点P到OM的距离为2,则OQ
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的长为(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图,△ABC是等边三角形,点P是三角形内的任意一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC的周长为12,则PD+PE+PF=(C)
A.12 B.8 C.4 D.3
(第6题图)
(第7题图)
8.如图,直线l∥m∥n,等边三角形ABC的顶点B,C分别在直线n和m上,边BC与直线n所夹锐角为28°,则∠α的度数为(C)
A.28° B.30° C.32° D.45°
9.如图,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是(B)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.不等边三角形 D.不能确定形状
(第8题图)
(第9题图)
10.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=8,AB=7,则BC+CD等于(B)
A.6 B.5 C.4 D.3
11.适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为(C)
①a=3,b=4,c=5;
②a=6,∠A=45°;
③a=2,b=2,c=2;
④∠A=38°,∠B=52°.
A.1 B.2 C.3 D.4 〚导学号92034181〛
12.如图,一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为4米,如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米,竹竿底端B外移的距离BD(A)
A.等于1米 B.大于1米
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C.小于1米 D.以上都不对
(第10题图)
(第12题图)
二、填空题(每小题3分,共24分)
13.如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线l1,l2相交于点O,若∠BAC等于82°,则∠OBC=8°.
14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,动点D从点A出发,以2 cm/s的速度沿射线AC运动,当t=5 s或6 s或s时,△ABD为等腰三角形.
(第13题图)
(第14题图)
15.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=10,则线段MN的长为10.
16.如图,用圆规以直角顶点O为圆心,以适当半径画一条弧交两直角边于A,B两点,若再以A为圆心,以OA为半径画弧,与弧AB交于点C,则∠AOC等于60°.
(第15题图)
(第16题图)
17.如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段BC的延长线上,连接AE交CD于点F,∠AED=2∠AEB,点G
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是AF的中点.若CE=1,AG=3,则AB的长为2.
18.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则cos∠ABC的值为.
(第17题图)
(第18题图)
19.如图,要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道,平板车的长不能超过4米.
20.如图,在等腰直角三角形OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰直角三角形OA1A2,以OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,…,则OA5的长度为4.
(第19题图)
(第20题图)
三、解答题(共40分)
21.(10分)如图所示,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=10,D为△ABC外的一点,连接AD,BD,过D作DH⊥AB,垂足为H,DH的延长线交AC于E.
(1)如图1,若BD=AB,且=,求AD的长;
(2)如图2,若△ABD是等边三角形,求DE的长.
解(1)由DH⊥AB,=,
可设BH=3k,则DH=4k,
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根据勾股定理得DB=5k,
∵BD=AB=10,
∴5k=10,解得k=2,
∴DH=8,BH=6,AH=4,
∴AD===4;
(2)因为△ABD是等边三角形,AB=10,
所以∠ADB=60°,AD=AB=10,
∵DH⊥AB,∴AH=AB=5,
∴DH===5,
因为△ABC是等腰直角三角形,
所以∠CAB=45°,即∠AEH=45°,
所以△AEH是等腰直角三角形,
即EH=AH=5,
所以DE=DH+EH=5+5.
22.(15分)台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心,在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,此时某台风中心在海域B处,在沿海城市A的正南方向240千米,其中心风力为12级,每远离台风中心25千米,台风就会减弱一级,如图所示,该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动,且台风中心的风力不变,若城市所受风力达到或超过4级,则称受台风影响.试问:
(1)A城市是否会受到台风影响?请说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
解(1)该城市会受到这次台风的影响.
理由略.
(2)台风影响该市的持续时间为16小时.
(3)该城市受到这次台风最大风力为7.2级.〚导学号92034182〛
23.(15分)如图,点O是等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AD.
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(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(2)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
解(1)△AOD是直角三角形,
理由略.
(2)当α为110°,125°,140°时,△AOD是等腰三角形.
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