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一、选择题
1．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－1，)
C．(0，3) D．(0，)
解析：选A.由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.
2．(2018·潍坊模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.
3．(2018·石家庄质量检测(一))双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是( )
A. B．2＋
C．2 D.＋1
解析：选B.由题意可知A是F1B的中点，O是F1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是△F1BF2的中位线，故OA∥BF2，故F1F2⊥BF2，又∠BF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝4c，|BF2|＝2c，所以2a＝4c－2c，所以e＝＝2＋，故选B.
4．(2018·武汉模拟)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为( )
A．y2＝3x B．y2＝4x
C．y2＝6x D．y2＝8x
解析：选C.因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，所以过点F且倾斜角为的直线方程为y＝(x－)，联立直线与抛物线的方程，得⇒3x2－5px＋p2＝0，设A(x
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A，yA)，B(xB，yB)，则所以|AB|＝＝
|xA－xB|＝·＝p＝8⇒p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，故选C.
5．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故选D.
法二：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.
6．(2018·贵阳模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM，切点为M，交y轴于点P，若＝λ，且双曲线的离心率e＝，则λ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.如图，|OF|＝c，|OM|＝a，OM⊥PF，所以|MF|＝b，根据射影定理得|PF|＝，所以|PM|＝－b，所以λ＝＝＝＝.
因为e2＝＝＝1＋＝＝，所以＝.所以λ＝2.故选B.
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二、填空题
7．(2018·合肥第一次质量检测)抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，其中x＞0，y＞0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y，
则⇒或(舍去)．所以点P的坐标为(4，4)．
答案：(4，4)
8．(2018·贵阳模拟)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cos∠PAQ＝，则椭圆C的离心率e为________．
解析：根据题意可取P，Q，所以tan∠PAF＝＝＝＝＝1－e，cos∠PAQ＝cos 2∠PAF＝cos2∠PAF－sin2∠PAF＝＝＝＝，故5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2⇒8(1－e)2＝2⇒(1－e)2＝.又椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)，所以1－e＝，e＝.
答案：
9．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则·的最小值的取值范围是________．
解析：设P(m，n)，则－＝1，
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即m2＝a2.
又F1(－1，0)，F2(1，0)，
则＝(－1－m，－n)，
＝(1－m，－n)，
·＝n2＋m2－1
＝n2＋a2－1
＝n2＋a2－1≥a2－1，
当且仅当n＝0时取等号，
所以·的最小值为a2－1.
由2≤≤4，得≤a≤，
故－≤a2－1≤－，
即·的最小值的取值范围是.
答案：
三、解答题
10．(2018·南昌调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．
解：(1)由题知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，化简得m2＜4k2＋1，①
x1＋x2＝－，x1x2＝，
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y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，
所以4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，所以(4k2－5)·＋4km·(－)＋4m2＝0，
即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简得m2＋k2＝，②
由①②得0≤m2＜，＜k2≤，
因为原点O到直线l的距离d＝，
所以d2＝＝＝－1＋，
又＜k2≤，
所以0≤d2＜，所以原点O到直线l的距离的取值范围是.
11．(2018·贵阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为短轴的上端点，·＝0，过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点(2，－1)且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点．若k1，k2分别为直线MH，MG的斜率，求k1＋k2的值．
解：(1)由·＝0，得b＝c.
因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝，
所以＝，
⇒.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即y＝kx－2k－1，
将y＝kx－2k－1代入＋y2＝1得(1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0，
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由题设可知Δ＝－16k(k＋2)＞0，设G(x1，y1)，H(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
k1＋k2＝＋＝＋＝2k－＝2k－(2k＋1)＝－1，
所以k1＋k2＝－1.
12．(2018·石家庄质量检测(二))已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心C在抛物线x2＝2py(p＞0)上，圆C过原点且与抛物线的准线相切．
(1)求该抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的两条切线交于P点，求三角形PAB面积的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)由已知可得圆心C(a，b)，半径r＝，
焦点F，准线y＝－.
因为圆C与抛物线的准线相切，所以b＝－，且圆C过焦点F，
又因为圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，
即b＝，
所以b＝－＝，即p＝2，故抛物线的方程为x2＝4y.
(2)易得焦点F(0，1)，直线l的斜率必存在，设为k，即直线方程为y＝kx＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4kx－4＝0，Δ＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
对y＝求导得y′＝，即kAP＝，
直线AP的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－x，
同理直线BP的方程为y＝x－x.
设P(x0，y0)．
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联立直线AP与BP的方程，得，
即P(2k，－1)，
|AB|＝|x1－x2|＝4(1＋k2)，点P到直线AB的距离d＝＝2，
所以三角形PAB的面积S＝×4(1＋k2)×2＝4(1＋k2)≥4，当且仅当k＝0时取等号．
综上，三角形PAB面积的最小值为4，此时直线l的方程为y＝1.
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