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[必练习题]
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；
②若α∥β，m⊂α，则m∥β；
③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；
④若m∥α，m∥β，则α∥β.
其中正确命题的序号是( )
A．①③ B．①②
C．③④ D．②③
解析：选D.对于①，注意到直线m可能与平面α，β的交线平行，此时结论不成立，因此①不正确；对于②，直线m与平面β必没有公共点，因此m∥β，②正确；对于③，由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，因此m⊥β，③正确；对于④，平面α，β可能是相交平面，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是②③，选D.
2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：选A.由几何体的三视图知，几何体是底面为直角梯形，高为的四棱锥，如图所示，则V＝××(1＋2)×2×＝，故选A.
3．已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为( )
A．π B.
C．2π D．3π
解析：选C.依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形边AB上的高为2，因此＝，解得r＝，所以圆锥内切球的表面积为4π×＝2π，故选C.
4．
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中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一个标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为( )
A．1.2 B．1.6
C．1.8 D．2.4
解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为，高为x的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x，3，1的长方体，所以组合体的体积V＝V圆柱＋V长方体＝π·
×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6.故选B.
5．已知S，A，B、C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝，若球O的表面积为4π，则SA＝( )
A. B．1
C. D.
解析：选B.根据已知把SABC补成如图所示的长方体．因为球O的表面积为4π，所以球O的半径R＝1，2R＝＝2，解得SA＝1，故选B.
6．棱长都为2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.过点A1作直线A1M⊥D1C1，交C1D1的延长线于点M，连接CM，可得A1M⊥平面DD1C1C，则∠A1CM就是直线A1C与面DD1C1C所成的角．由所有棱长均为2及∠A1D1C1＝120°，得A1M＝A1D1sin 60°＝，又A1C＝＝＝4，
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所以sin∠A1CM＝＝，故选C.
7．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直
解析：选B.若存在某个位置，使得AC⊥BD，作AE⊥BD于E，则BD⊥平面AEC，所以BD⊥EC，在△ABD中，AB2＝BE·BD，BE＝，而在△BCD中，BC2＝BE·BD，BE＝，两者矛盾．故A错误．
若存在某个位置，使得AB⊥CD，又因为AB⊥AD，则AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC，故AC＝1，故B正确，D错误．
若存在某个位置．使得AD⊥BC，又因为AD⊥AB，则AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC，而斜边CD小于直角边AD，矛盾，故C错误．
8.如图，在四棱锥PACBD中，底面ACBD为正方形，PD⊥平面ACBD，BC＝AC＝a，PA＝PB＝a，PC＝a，则点C到平面PAB的距离为________．
解析：根据条件可以将四棱锥置于一个正方体中进行研究，如图所示，易知AB＝a，设点C到平面PAB的距离为h，因为VPABC＝VCPAB，即×S△ABC·PD＝S△PAB·h，所以×a2×a＝××(a)2×h，解得h＝a，所以点C到平面PAB的距离为a.
答案：a
9．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________．
解析：以DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
则D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)．
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所以＝(0，1，0)，＝(－1，－1，1)．
因为点P在线段BD1上运动，
所以设＝λ＝(－λ，－λ，λ)，且0≤λ≤1.
所以＝＋＝＋＝(－λ，1－λ，λ)，
所以·＝1－λ∈[0，1]．
答案：[0，1]
10.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成四面体PDEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．
解析：折成的四面体是正四面体，如图连接HE，取HE的中点K，连接GK，PK，则GK∥DH.故∠PGK即为所求的异面直线所成的角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，PG＝，GK＝，PK＝＝，故cos∠PGK＝＝，即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.
答案：
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