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1．(2018·益阳、湘潭调研)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求直线l的直角坐标方程；
(2)设点P(1，0)，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)由ρcos＝得ρcos θcos －ρsin θsin ＝，
又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
所以直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0.
(2)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，
因为P(1，0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为(t为参数)，
将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0，
所以t1·t2＝－，
故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝.
2．(2018·合肥第一次质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(θ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cos θ＝0.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．
解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0.
因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，所以x2＋y2－2x＝0，
即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为1.
设曲线C1的动点M(3cos θ，2sin θ)，
由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.
因为|MC2|＝＝，
所以当cos θ＝时，|MC2|min＝，
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所以|MN|min＝|MC2|min－1＝－1.
3．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，
解得k＜－1或k＞1，
即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
(α为参数，＜α＜)．
4．(2018·昆明调研)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2，1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.
解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)．
曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.
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(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0，
由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，得cos2α>，
由根与系数的关系，
得t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3，
由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|，
由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2，
则(t1＋t2)2＝5t1·t2，
得(－4cos α)2＝5×3，
解得cos2α＝，满足cos2α>，
所以sin2α＝，tan2α＝，
所以直线l的斜率k＝tan α＝±.
5．(一题多解)(2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若α＝，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由题知直线l的参数方程为(t为参数)．
因为ρ＝，
所以ρsin2θ＝8cos θ，
所以ρ2sin2θ＝8ρcos θ，即y2＝8x.
(2)法一：当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，
代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，
t1·t2＝－16，
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝8.
又点O到直线AB的距离d＝1×sin ＝，
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所以S△AOB＝|AB|×d＝×8×＝2.
法二：当α＝时，直线l的方程为y＝x－1，
设M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2＝8(y＋1)，即y2－8y－8＝0，
由根与系数的关系得
S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2.
6．(2018·陕西教学质量检测(一))在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(t>0，α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝3.
(1)当t＝1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；
(2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．
解：(1)由ρsin＝3得ρsin θ＋ρcos θ＝3，
把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，
当t＝1时，曲线C的参数方程为(α为参数)，
消去参数得曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，
所以曲线C为圆，且圆心为O，则点O到直线l的距离d＝＝，
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋.
(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的下方，
所以对任意的α∈R，tcos α＋sin α－3
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