角平分线
一课一练·基础闯关
题组角平分线的性质定理和判定定理
1.(2017·台州中考)如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是 ( )
A.1 B.2 C. D.4
【解析】选B.作PE⊥OA于点E,
∵点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,PE⊥OA,
∴PE=PD=2,即点P到边OA的距离是2.
2.(2017·胶州市期中)如图,OC是∠AOB的平分线.D,E分别是OA,OB上的点,则下列条件中不能判定△OCD与△OCE全等的是 世纪金榜导学号10164032( )
A.∠OCD=∠OCE B.CD⊥OA,CE⊥OB
C.OD=OE D.CD=CE
【解析】选D.当∠OCD=∠OCE时,
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∵
∴△OCD≌△OCE(ASA),故A能判定△OCD与△OCE全等;
当CD⊥OA,CE⊥OB时,由AAS可得到△OCD≌△OCE,故B能判定△OCD与△OCE全等;
当OD=OE时,由SAS可得到△OCD≌△OCE,故C能判定△OCD与△OCE全等;
D不能判定△OCD与△OCE全等.
3.(2017·崇仁月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于 ( )
A.2cm B.3cm
C.4cm D.5cm
【解析】选B.∵BE平分∠ABC,DE⊥AB,∠ACB=90°,
∴ED=EC,
∴AE+DE=AE+EC=AC=3cm.
4.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=2,则EF=________.
世纪金榜导学号10164033
【解析】作EG⊥OA于G,如图所示:
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∵EF∥OB,∠AOE=∠BOE=15°
∴∠OEF=∠COE=15°,EG=CE=2,
∵∠AOE=15°,∴∠EFG=∠OEF+∠AOE=15°+15°=30°,
∴EF=2EG=4.
答案:4
【方法指导】当题目中出现角平分线或平分某个角,且求点到直线的距离或两直线间距离时,应添加适当的辅助线,运用角平分线的性质定理求解.
5.(2017·濮阳期末)如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,△ABC的面积为36cm2,AB=18cm,BC=12cm,求DE的长.
【解析】作DF⊥BC于F,
∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,
∴BC·DF+AB·DE=36,∴DE=DF=.
6.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
世纪金榜导学号10164034
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【证明】∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE和△CDF是直角三角形.
又
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF,
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是△ABC的角平分线.
【知识归纳】角平分线的性质与判定的区别与联系
内容
图示
符号语言
作用
性
质
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
∵点P在∠AOB的平分线上,且PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE
证明两条线段相等
判
定
在一个角的内部,到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
∵PD⊥OA,PE⊥OB且PD=PE,
∴∠AOP=∠BOP
证明两个
角相等
题组作一个角的平分线
1.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是 ( )
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A.OE是∠AOB的平分线
B.OC=OD
C.点C,D到OE的距离不相等
D.∠AOE=∠BOE
【解析】选C.根据尺规作图的画法可知:OE是∠AOB的角平分线,OC=OD,∠AOE=∠BOE,点C,D到OE的距离相等,故A,B,D项均正确,C项错误.
2.(2017·邵阳中考)如图所示,已知∠AOB=40°,现按照以下步骤作图:
①在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;
②分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径画弧,在∠AOB内两弧交于点C;
③作射线OC.
则∠AOC的大小为________.
【解析】由作图知,OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠AOB=20°.
答案:20°
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法).
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.
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【解析】(1)画图如下:
(2)∵AB=AC,∠ABC=72°,
∴∠ACB=∠ABC=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=36°,∴∠BDC=72°.
4.有位于公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A,B,如图.电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,发射塔C应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置.(保留作图痕迹,不要求写出画法)
世纪金榜导学号10164035
【解析】根据题意知道,点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.
(1)作两条公路夹角的平分线OD或OE.
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(2)作线段AB的垂直平分线FG;则射线OD,OE与直线FG的交点C1,C2就是所求的位置.
如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是 ( )
世纪金榜导学号10164036
A.8 B.6 C.4 D.2
【解析】选C.过点P作PE⊥BC于点E,
∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD,
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,∴PE=PA=PD,
∵PA+PD=AD=8,
∴PA=PD=4,∴PE=4.
【母题变式】
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(2017·诸城市期末)如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,作PE⊥AB,垂足为E.若PE=3,则两平行线AD与BC间的距离为 ( )
A.3 B.5 C.6 D.不能确定
【解析】选C.作PF⊥AD于F,PG⊥BC于G,
∵AP是∠BAD的平分线,PF⊥AD,PE⊥AB,
∴PF=PE=3,
∵BP是∠ABC的平分线,PE⊥AB,PG⊥BC,
∴PG=PE=3,
∵AD∥BC,
∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=6.
[变式一]如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且AD⊥AB,求证:BC=AB+CD.
【证明】在BC上取点F,使BF=BA,连接PF,
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∵BP,CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线,
∴∠ABP=∠FBP,∠DCP=∠FCP.
在△ABP和△FBP中,
∵AB=FB,∠ABP=∠FBP,BP=BP,
∴△ABP≌△FBP,
∴∠A=∠BFP.
∵AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°,
∴∠BFP+∠D=180°.
∵∠BFP+∠CFP=180°,∴∠CFP=∠D.
在△CDP和△CFP中,
∵∠CFP=∠D,∠FCP=∠DCP,CP=CP,
∴△CFP≌△CDP,∴CF=CD.
∵BC=BF+CF,
∴BC=AB+CD.
[变式二](2017·澧县期中)如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.
(1)求证:OC平分∠ACD.
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(2)求证:OA⊥OC.
(3)求证:AB+CD=AC.
【证明】(1)过点O作OE⊥AC于E,
∵∠ABD=90°,OA平分∠BAC,
∴OB=OE,
∵点O为BD的中点,
∴OB=OD,
∴OE=OD,
∴OC平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中,
∵AO=AO,OB=OE,
∴Rt△ABO≌Rt△AEO,
∴∠AOB=∠AOE,
同理求出∠COD=∠COE,
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°,
∴OA⊥OC.
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO,
∴AB=AE,
同理可得CD=CE,
∵AC=AE+CE,
∴AB+CD=AC.
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