线段的垂直平分线
一课一练·基础闯关
题组三角形三边垂直平分线的性质与应用
1.在△ABC中,AB=AC,有一点P到A,B,C三点的距离相等,则点P一定在 ( )
A.AB边的高上 B.AC边的高上
C.BC边的中线上 D.AB边的中线上
【解析】选C.∵点P到A,B,C三点的距离相等,∴点P一定在△ABC三边的垂直平分线上,∵AB=AC,由“三线合一”可知BC边的垂直平分线也一定是BC边的中线.
【变式训练】已知等腰三角形的底角是70°,两腰的垂直平分线相交于点P,下列结论正确的是 ( )
A.点P在三角形内部 B.点P在三角形外部
C.点P在三角形边上 D.点P的位置不确定
【解析】选A.∵等腰三角形的底角是70°,
∴其顶角为40°,这个三角形为锐角三角形,
∴点P在三角形内部.
2.(2017·东平县期中)已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上,则△ABC的形状为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
【解析】选B.∵三角形三边的垂直平分线交点在三角形内部,为锐角三角形,若在外部,则为钝角三角形.若在边上,则为直角三角形,∴△ABC的形状为直角三角形.
3.(2017·南京一模)如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线l1,l2相交于点O,若∠BAC等于82°,则∠OBC=________.
世纪金榜导学号10164028
【解析】连接OA,
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∵∠BAC=82°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-82°=98°,
∵AB,AC的垂直平分线交于点O,
∴OB=OA,OC=OA,
∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,
∴∠OBC+∠OCB=98°-(∠OBA+∠OCA)=16°,
∴∠OBC=8°.
答案:8°
4.在△ABC中,AB=5,BC=4,AC=3,点O是△ABC三边垂直平分线的交点,那么BO的长为________.
【解析】因为AC2+BC2=25=AB2,所以∠C=90°,
所以点O是AB的中点,所以BO=AB=.
答案:
5.如图,D是△ABC的边BC的中点,过AD延长线上的点E作AD的垂线EF,E为垂足,EF与AB的延长线相交于点F,点O在AD上,AO=CO,BC∥EF. 世纪金榜导学号10164029
求证:(1)AB=AC.
(2)点O是△ABC三边垂直平分线的交点.
【证明】(1)∵D是△ABC的边BC的中点,
∴BD=CD,
∵BC∥EF,AD⊥EF,
∴AD⊥BC,∴AD是BC的垂直平分线,
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∴AB=AC.
(2)∵AO=CO,
∴点O在AC的垂直平分线上,
∵AD是BC的垂直平分线,点O在AD上,
∴点O是边BC和AC的垂直平分线的交点.
∵三角形三条边的垂直平分线相交于一点,
∴点O是△ABC三边垂直平分线的交点.
题组线段垂直平分线与等腰三角形
1.由下列条件可以作出唯一的等腰三角形的是 ( )
A.已知等腰三角形的两腰
B.已知一腰和一腰上的高
C.已知底角的度数和顶角的度数
D.已知底边长和底边上的中线的长
【解析】选D.已知等腰三角形的两腰,顶角不确定,作出的等腰三角形不唯一,A错误;已知一腰和一腰上的高,角度不确定,作出的等腰三角形不唯一,B错误;已知底角的度数和顶角的度数,只知道三个角,作出的等腰三角形不唯一,C错误;已知底边长和底边上的中线的长作出的等腰三角形是唯一的,D正确.
2.(2017·莲湖区月考)已知△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D,△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm,则△ABC的腰和底边长分别为 ( )
世纪金榜导学号10164030
A.24cm和12cm B.16cm和22cm
C.20cm和16cm D.22cm和16cm
【解析】选D.如图,连接BD,
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∵D在线段AB的垂直平分线上,∴BD=AD,
∴BD+DC+BC=AC+BC=38cm,
且AB+AC+BC=60cm,
∴AB=60cm-38cm=22cm,∴AC=22cm,
∴BC=38cm-AC=38cm-22cm=16cm,
即等腰三角形的腰为22cm,底为16cm.
3.如图,在△ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,连接AD,若AD=4,则CD=________.
【解析】过A作AF⊥BC于F,
∵AB=AC,∴BF=CF=BC,
∵AB的垂直平分线交AB于点E,
∴BD=AD=4,
设DF=x,∴BF=4+x,
∵AF2=AB2-BF2=AD2-DF2,
即36-(4+x)2=16-x2,
∴x=0.5,∴DF=0.5,
∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5.
答案:5
4.已知△ABC中,AD是BC的垂直平分线,垂足为D,∠BAD=∠B,则△ABC是________三角形.
世纪金榜导学号10164031
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【解析】∵AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC,∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°,
∵∠BAD=∠B,∴∠BAD=30°,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形.
答案:等边
5.已知:线段a,
求作:等腰△ABC,使底边BC=a,高AD=a.(保留作图痕迹,不写作法)
【解析】△ABC即为所求作的三角形
在△ABC中,∠BAC=40°,∠ACB=90°,则在直线BC或AC上取一点P,使得△ABP为等腰三角形,这样的P点有________个.
【解析】以A为圆心,以AB为半径作圆,与直线AC,BC有三个交点;
同理以B为圆心,以AB为半径作圆,与直线AC,BC有三个交点;
作AB的垂直平分线交AC,BC于两点,
即有3+3+2=8个.
答案:8
【母题变式】
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[变式一]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【解析】选C.如图,
①AB的垂直平分线交AC于点P1,交直线BC于点P2此时PA=PB;
②以A为圆心,AB为半径画圆,交AC有两点P3,P4,交BC有一点P2(此时AB=AP);
③以B为圆心,BA为半径画圆,交BC有两点P5,P2,交AC有一点P6(此时BP=BA).
2+(3-1)+(3-1)=6,
∴符合条件的点有6个.
[变式二]如图,在△ABC中,∠A=36°,∠B=72°,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,则图中等腰三角形的个数为 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】选B.∵∠A=36°,∠B=72°,
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∴∠ACB=72°,∴△ABC是等腰三角形.
∵DE垂直平分AC,∴AE=CE,
∴△AEC是等腰三角形.
∴∠ACE=∠A=36°,∠BEC=72°,∴∠B=∠BEC,
∴BC=EC,∴△BCE是等腰三角形.
综上所述,图中的等腰三角形共有3个.
[变式三](2017·海安县期末)如图,直线a,b相交于点O,∠1=50°,点A在直线a上,直线b上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的B点有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论:
①当OB=AB时,作线段OA的垂直平分线,与直线b的交点为B,此时有1个;
②当OA=AB时,以点A为圆心,OA为半径作圆,与直线b的交点,此时有1个;
③当OA=OB时,以点O为圆心,OA为半径作圆,与直线b的交点,此时有2个,一共有1+1+2=4个.
[变式四](2017·江阴市期中)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是 ( )
A.4个 B.5个 C.8个 D.9个
【解析】选D.如图所示,使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是9个.
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