等腰三角形
一课一练·基础闯关
题组等边三角形判定定理的应用
1.(2017·静宁县期中)△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则△ABC是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.不等边三角形 D.不能确定
【解析】选B.∵△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C,
又∵∠A=∠C,
∴∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.
2.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是 世纪金榜导学号10164012( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.不等边三角形 D.不能确定形状
【解析】选B.∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC.
∵∠1=∠2,BE=CD,
∴△ABE≌△ACD,
∴AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°,
∴△ADE是等边三角形.
3.(2017·新城区期中)如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=5,BD=3,则△ADE的周长为 ( )
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A.2 B.6 C.9 D.15
【解析】选B.∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠AED=∠B=∠C=60°,
∴△ADE为等边三角形,
∵AB=5,BD=3,
∴AD=AB-BD=2,
∴△ADE的周长为6.
4.(2017·安陆市期中)△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为________.
【解析】∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,
又∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=CA=3,
∴△ABC的周长为9.
答案:9
5.在△ABC中,∠A=60°,∠ABC,∠ACB所对的边b,c满足b2+c2-4(b+c)+8=0.
求证:△ABC是边长为2的等边三角形.
世纪金榜导学号10164013
【证明】∵b2+c2-4(b+c)+8=0,
∴(b-2)2+(c-2)2=0,
∴b=c=2,
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又∵∠A=60°,
所以△ABC是边长为2的等边三角形.
题组含30°角的直角三角形的性质
1.(2017·蒙阴县一模)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 ( )
A.m B.4m
C.4m D.8m
【解析】选B.过C作CM⊥AB于M,
则CM=h,∠CMB=90°,
∵∠ABC=150°,
∴∠CBM=30°,
∴h=CM=BC=4m.
2.(2017·河池中考)已知等边△ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DE⊥AC于点E,过E作EF⊥BC于点F,过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时,AD的长是 ( )
世纪金榜导学号10164014
A.3 B.4 C.8 D.9
【解析】选C.设BD=x,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
∵DE⊥AC,EF⊥BC,FG⊥AB,
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∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°,
∴BF=2x,
∴CF=12-2x,
∴CE=2CF=24-4x,
∴AE=12-CE=4x-12,
∴AD=2AE=8x-24,
∵AD+BD=AB,
∴8x-24+x=12,
∴x=4,
∴BD=4,∴AD=12-4=8.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD=________.
【解析】∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
∵AD平分∠CAB,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∴BD=AD=2CD=2.
答案:2
【归纳整合】直角三角形的特殊边角关系
1.两锐角的关系:直角三角形的两锐角互余.
2.三边关系:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
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3.边角之间的关系:在直角三角形中,如果一个内角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
4.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC于点A,
世纪金榜导学号10164015
(1)求∠BAD的度数.
(2)证明:DC=2BD.
【解析】(1)∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°.∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°.
(2)∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.
∵∠DAC=90°,∴DC=2AD.
∵∠BAD=∠B=30°,∴AD=BD,∴DC=2BD.
【变式训练】在等腰三角形ABC中,AB=AC=2a,底角为15°,求腰上的高CD的长.
【解析】∵∠ABC=∠ACB=15°,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°,
又∠ADC=90°,
∴CD=AC=×2a=a.
如图,△ABC是等边三角形,P为△ABC内部一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合,如果AP=3,求PP′的长.
【解析】∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵△ABP绕A点逆时针旋转后与△ACP′重合,
∴AP=AP′,∠BAP=∠CAP′,
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠CAP+∠CAP′
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=∠PAP′=60°,
∴△APP′为等边三角形,∴PP′=AP=3.
【母题变式】
[变式一]如图,将△ABC绕点A逆时针旋转60度后得到△AED,连接BE,CD,若
∠BAC=30°,则下列说法:①BC=ED;②△ABE和△ACD都是等边三角形;
③∠CAE=30°;④AE⊥CD.其中正确的说法是 ( )
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
【解析】选D.∵△AED由△ABC旋转而成,∴BC=DE,故①正确;∵将△ABC绕点A逆时针旋转60度后得到△AED,
∴∠BAE=60°,AB=AE,∴△ABE是等边三角形;同理,∠CAD=60°,AC=AD,
∴△ACD是等边三角形,故②正确;
∵∠BAE=60°,∠BAC=30°,∴∠CAE=30°,故③正确;
∵△ACD是等边三角形,∠CAE=30°,
∴AE是∠CAD的平分线,∴AE⊥CD,故④正确.
[变式二]如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,下面结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④PQ∥AC.其中结论正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.∵△ABD,△BCE为等边三角形,
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∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,
∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60°,
在△ABE和△DBC中,
∵AB=DB,∠ABE=∠DBC,BE=BC,
∴△ABE≌△DBC(SAS),
∴①正确;
∵△ABE≌△DBC,
∴∠BAE=∠BDC,
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°,
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°,
∴②正确;
在△ABP和△DBQ中,
∵∠BAP=∠BDQ,AB=DB,∠ABP=∠DBQ=60°,
∴△ABP≌△DBQ(ASA),
∴BP=BQ,
∴△BPQ为等边三角形,
∴③正确;
∵△BPQ是等边三角形,
∴∠PQB=60°,
∴∠PQB=∠QBC,
∴PQ∥AC,
故④正确.
[变式三]如图,△ABC是等边三角形,分别延长AB至点F,BC至点D,CA至点E,使AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA,求证:△DEF是等边三角形.
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【证明】∵△ABC是等边三角形,
∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°.
∵AB=BC=CA,AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA,
∴AF=BD=CE,AE=BF=CD,
∴△AEF≌△BFD≌△CDE.
∴EF=FD=DE.
即△DEF是等边三角形.
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