2019版八年级数学下册第一章三角形的证明1.1等腰三角形第3课时一课一练基础闯关新版北师大版.doc

等腰三角形 一课一练·基础闯关 题组等腰三角形判定定理的应用 ‎1.(2017·新会区期末)下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是　(　　)‎ A.1,1,2 B.2,2,5‎ C.3,3,5 D.3,4,5‎ ‎【解析】选C.∵1+1=2,无法构成三角形,故A选项错误;∵2+25,3=3,故组成等腰三角形,故C选项正确;∵3,4,5没有相等的边,不是等腰三角形,故D选项错误.‎ ‎2.(2017·丛台区月考)下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是　世纪金榜导学号10164008(　　)‎ A.∠A=30°,∠B=60°‎ B.AB=5,AC=12,BC=13‎ C.∠A=30°,∠B=75°‎ D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5‎ ‎【解析】选C.当∠A=30°,∠B=60°时,∠C=90°,不是等腰三角形,A选项错误.当AB=5,AC=12,BC=13,52+122=132,所以是直角三角形,不是等腰三角形,B选项错误;当∠A=30°,∠B=75°,∠C=75°,是等腰三角形,C选项正确,当∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,三个内角度数分别为45°,60°,75°,不是等腰三角形,D选项错误.‎ ‎3.(2017·单县期中)在△ABC中,∠A的相邻外角是70°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B为　(　　)‎ A.70° B.35° ‎ C.110°或35° D.110°‎ ‎【解析】选B.∵∠A的相邻外角是70°,‎ ‎∴∠A=180°-70°=110°,‎ ‎∵△ABC为等腰三角形,‎ ‎∴∠B=(180°-110°)=35°.‎ ‎4.(2017·‎ - 9 -‎ 周村区一模)如图,是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能够得到两个等腰三角形纸片的是　(　　)‎ ‎【解析】选B.A.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;‎ B.不能够分成两个等腰三角形;‎ C.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;‎ D.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形.‎ ‎5.如图,∠BAC=100°,∠B=40°,∠D=20°,AB=3,则CD=________.　世纪金榜导学号10164009‎ ‎【解题指南】解答本题的关键是:从已知中求出图形中各个角的度数,然后找出相等的角,根据“等角对等边”,将未知CD与已知AB“搭桥”.‎ ‎【解析】∵∠BAC=100°,∠B=40°,‎ ‎∴∠ACB=40°,‎ ‎∵∠D=20°,∴∠CAD=20°,∴CD=AC=AB=3.‎ - 9 -‎ 答案:3‎ ‎6.如图,△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于点F,交BC于点E.求证:△DBE是等腰三角形.‎ ‎【证明】因为BA=BC,所以∠A=∠C.‎ 因为DF⊥AC于点F,交BC于点E,‎ 所以∠C+∠CEF=90°,∠A+∠D=90°,‎ 所以∠D=∠CEF.‎ 又因为∠CEF=∠DEB,‎ 所以∠D=∠DEB,‎ 所以BD=BE,‎ 所以△DBE是等腰三角形.‎ 题组反证法的应用 ‎1.用反证法证明真命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,应假设　‎ ‎(　　)‎ A.四边形中至多有一个角是钝角或直角 B.四边形中至少有两个角是钝角或直角 C.四边形中四个角都是钝角或直角 D.四边形中没有一个角是钝角或直角 ‎【解析】选D.因为“至少有一个”的反面是“没有一个”,所以用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设:四边形中没有一个角是钝角或直角.‎ ‎2.(2017·雨城区月考)用反证法证明“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,第一步应假设为　世纪金榜导学号10164010(　　)‎ A.a,b,c都是奇数 - 9 -‎ B.a,b,c都是奇数或至少有两个偶数 C.a,b,c都是偶数 D.a,b,c中至少有两个偶数 ‎【解析】选B.用反证法证明一个命题成立,首先假设命题的否定成立.因为“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反面是“自然数a,b,c中有两个偶数或都是偶数”,因此选B.‎ ‎3.若a∥b,b∥c,证明a∥c.用反证法证明的第一步是先假设_____________ _____.‎ ‎【解析】用反证法证明a∥c时,应先假设a与c不平行.‎ 答案:a与c不平行 ‎4.用反证法证明:等腰三角形两底角必为锐角.‎ ‎【证明】①设等腰三角形底角∠B,∠C都是直角,则∠B+∠C=180°,而∠A+∠B+∠C=180°+∠A>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.‎ ‎②设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角,则∠B+∠C>180°,而∠A+∠B+∠C >180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.‎ 综上所述,假设①②错误,所以∠B,∠C只能为锐角.故等腰三角形两底角必为锐角.‎ ‎【归纳整合】运用反证法应注意的问题 ‎1.必须正确否定结论 正确否定结论是运用反证法的关键.‎ ‎2.必须明确推理的特点 否定结论导出矛盾是反证法的任务,但何时出现矛盾,出现什么样的矛盾是不能预测的,也没有一个机械的标准.只需正确否定结论,严格遵守推理规则,进行步步有据的推理,矛盾一经出现,证明即告结束.‎ ‎3.了解矛盾的种类 反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾,可能与已知真命题(定义或基本事实或定理或性质)相矛盾,可能与临时假设矛盾,或推出一对相互矛盾的结果等.‎ ‎(2017·北京中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.‎ - 9 -‎ 求证:AD=BC.　世纪金榜导学号10164011‎ ‎【证明】∵AB=AC,∠A=36°,‎ ‎∴∠ABC=∠C=72°,‎ ‎∵BD平分∠ABC,交AC于点D,‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=36°,∠BDC=72°,‎ ‎∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C,‎ ‎∴AD=BD=BC,∴AD=BC.‎ ‎【母题变式】‎ ‎[变式一]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,则图中的等腰三角形有　(　　)‎ A.5个　　　B.4个　　　C.3个　　　D.2个 ‎【解析】选A.共有5个.‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴△ABC是等腰三角形;‎ ‎∵BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,‎ ‎∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD,‎ ‎∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,‎ ‎∴∠EBC=∠ECB,‎ - 9 -‎ ‎∴△BCE是等腰三角形;‎ ‎∵∠A=36°,AB=AC,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°,‎ 又BD是∠ABC的平分线,‎ ‎∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,‎ ‎∴△ABD是等腰三角形;‎ 同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形.‎ ‎∴图中共有5个等腰三角形.‎ ‎[变式二]如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有　(　　)‎ 图1‎ A.2个　　 B.3个　　 C.4个　　 D.5个 ‎【解析】选D.∵AB=AC,‎ ‎∴△ABC是等腰三角形;‎ ‎∵AB=AC,∠A=36°,‎ ‎∴∠ABC=∠C=72°,‎ ‎∵BD是△ABC的角平分线,‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,‎ ‎∴∠A=∠ABD=36°,‎ ‎∴BD=AD,‎ - 9 -‎ ‎∴△ABD是等腰三角形;‎ 在△BCD中,‎ ‎∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°,‎ ‎∴∠C=∠BDC=72°,‎ ‎∴BD=BC,‎ ‎∴△BCD是等腰三角形;‎ ‎∵BE=BC,∴BD=BE,‎ ‎∴△BDE是等腰三角形;‎ ‎∴∠BED=(180°-36°)÷2=72°,‎ ‎∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°,‎ ‎∴∠A=∠ADE,‎ ‎∴DE=AE,‎ ‎∴△ADE是等腰三角形;‎ ‎∴图中的等腰三角形有5个.‎ ‎[变式三]如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD,CE分别为△ABC的角平分线,BD,CE相交于O,则图中等腰三角形有　(　　)‎ 图2‎ A.5个 B.6个 C.7个 D.12个 ‎【解析】选D.∵在等腰△ABC中,∠A=36°,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=72°,‎ ‎∵BD,CE平分∠ABC,∠ACB,‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°,‎ - 9 -‎ ‎∴∠BEC=∠CDB=72°,‎ 在△ACE和△ABD中,‎ ‎∵∠A=∠A,AC=AB,∠ACE=∠ABD,‎ ‎∴△ACE≌△ABD,‎ ‎∴AE=AD,‎ ‎∴∠AED=∠ADE=72°,‎ ‎∴∠AED=∠ABC,‎ ‎∴ED∥BC,‎ ‎∴∠CED=∠BDE=36°,‎ ‎∴图中相等的角有:∠A=∠ABD=∠ACE=∠ECB=∠DBC=∠CED=∠BDE=36°,∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDB=∠BOE=∠COD=∠AED=∠ADE=72°,‎ 因此等腰三角形有:△ABC,△ADE,△ABD,△ACE,△BDE,△BCE,△BEO;△CDB,△CDE,△CDO,△EDO,△BOC;共12个.‎ ‎[变式四](2017·简阳市期末)如图3,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,AD是BC边上的高,∠ABC的平分线BE交AD于点F,则图中共有等腰三角形　(　　)‎ 图3‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【解析】选B.∵∠ABC=60°,∠ACB=45°,AD是高,‎ ‎∴∠DAC=45°,‎ ‎∴CD=AD,∴△ADC为等腰直角三角形,‎ ‎∵∠ABC=60°,BE是∠ABC的平分线,‎ ‎∴∠ABE=∠CBE=30°,‎ - 9 -‎ 在△ABD中,∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-60°-90°=30°,‎ ‎∴∠ABF=∠BAD=30°,‎ ‎∴AF=BF,即△ABF是等腰三角形,‎ 在△ABC中,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-45°=75°,‎ ‎∵∠AEB=∠CBE+∠ACB=30°+45°=75°,‎ ‎∴∠BAE=∠BEA,‎ ‎∴AB=EB,即△ABE是等腰三角形,‎ ‎∴等腰三角形有△ACD,△ABF,△ABE,共3个.‎ ‎[变式五] (2017·江都区校级期中)如图4,在△ABC中,∠ABC=‎ ‎∠ACB=72°,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,它们的交点为F,则图中等腰三角形有________个.‎ ‎【解析】由题意可得:∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=∠A=36°,‎ ‎∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠CFD=∠BFE=∠BEF=72°,‎ ‎∴△ABC,△ABD,△ACE,△BEF,△CDF,△BCF,△BCE,△BCD均为等腰三角形,‎ ‎∴图中共有8个等腰三角形.‎ 答案:8‎ - 9 -‎