3 线段的垂直平分线
第1课时
【教学目标】
知识技能目标
让学生经历线段的垂直平分线性质定理及其逆定理的探索过程,熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
过程性目标
经历探索、猜测、证明的过程,体会转化、探究、归纳等数学思想,发展推理能力,丰富对几何图形的认识.
情感态度目标
通过探究活动,激发学生的好奇心和求知欲,培养主动探索与合作的能力,并在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验,建立学习的自信心.
【重点难点】
重点:运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆定理.
难点:垂直平分线的性质及判定定理在实际问题中的准确运用.
【教学过程】
一、创设情境
教师用多媒体演示:
如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置?
进一步提问:“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”
设计意图:创设身临其境的情境既省时高效的突出重点,又能让学生体会到数学的直观乐趣.
二、探索归纳
探索一:
通过讨论和思考,引导学生分析并写出已知、求证的内容.
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点.
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求证:PA=PB.
证明:∵MN⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵AC=BC,PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS),
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
教师用多媒体完整演示证明过程.
探索二:
问题一:你能写出上面这个定理的逆命题吗?
问题二:它是真命题吗?如果是,请你加以证明.
引导学生分析证明过程,有如下三种证法:
证法一:
已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上.
证明:过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理).
∴AC=BC,
即P点在AB的垂直平分线上.
证法二:
取AB的中点C,过PC作直线.
∵AP=BP,PC=PC.AC=CB,
∴△APC≌△BPC(SSS).
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等).
又∵∠PCA+∠PCB=180°,
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∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上.
证法三:
过P点作∠APB的平分线.
∵AP=BP,∠1=∠2,PC=PC,
∴△APC≌△BPC(SAS).
∴AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等,对应边相等).
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°.
∴P点在线段AB的垂直平分线上.
在做完性质定理和判定定理的证明以后,引导学生进行总结:(1)线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合.
(2)到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.因此只需作出这样的两个点即可作出线段的垂直平分线.
三、交流反思
1.学生经过讨论交流,化难为易,突破难点,讲解作垂直证中点或取中点证垂直的两种解题策略.学生用自己的语言描述判定定理并抽象出符号语言.
2.通过这节课的学习你有哪些新的收获?还有哪些困惑?
四、检测反馈
已知:如图,在 △ABC 中,AB=AC,O 是 △ABC 内一点,且 OB=OC.
求证:直线 AO 垂直平分线段BC.
五、布置作业
P23 习题1.7 第1,2题
六、板书设计
1.线段垂直平分线性质
2.线段垂直平分线判定
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证明过程
证明过程
七、教学反思
在这一节中,我们作为老师要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,先得出猜想,然后再进行证明,要求学生掌握证明的基本要求和方法,注意数学思想方法的强化和渗透.
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