八年级数学下册第一章三角形的证明教案与试题(共21套北师大版)
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资料简介
‎2 直角三角形 第1课时 ‎【教学目标】‎ 知识技能目标 ‎1.掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.‎ ‎2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.‎ 过程性目标 进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.‎ 情感态度目标 鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.‎ ‎【重点难点】‎ 重点:1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法.‎ ‎2.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.‎ 难点:勾股定理逆定理的证明方法.‎ ‎【教学过程】‎ 一、创设情境 通过问题1,让学生在解决问题的同时,回顾直角三角形的一般性质.‎ ‎[问题1]一个直角三角形房梁如图所示,其中BC⊥AC, ∠BAC=30°,AB=10 cm,CB1⊥AB,B1C1⊥AC1,垂足分别是B1,C1,那么BC的长是多少? B1C1呢?‎ 解:在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=10 cm,‎ ‎∴BC=AB=×10=5(cm).‎ ‎∵CB1⊥AB,∴∠B+∠BCB1=90°.‎ 又∵∠A+∠B=90°,‎ ‎∴∠BCB1 =∠A=30°.‎ 在Rt△BCB1中,‎ - 4 -‎ BB1=BC=×5=(cm)=2.5(cm).‎ ‎∴AB1=AB-BB1=10—2.5=7.5(cm).‎ ‎∵在Rt△C1AB1中,∠A=30°,‎ ‎∴B1C1 =AB1=× 7.5=3.75(cm).‎ 解决这个问题,主要利用了上节课已经证明的“含30°角的直角三角形的性质”.由此提问:“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明.‎ 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推导出的定理,能够证明勾股定理吗?‎ 请同学们打开课本P16,阅读“读一读”,了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理,证明勾股定理的方法.‎ 二、探究归纳 探索一:‎ 已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.‎ 求证:a2+b2=c2.‎ 证明:延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c,连接ED,AE(如图),则△ABC≌△BED.‎ ‎∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等).‎ ‎∴四边形ACDE是直角梯形.‎ ‎∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b) =(a+b)2.‎ ‎∴∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°,AB=BE.‎ ‎∴S△ABE=c2.‎ ‎∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,‎ ‎∴(a+b) 2= c2 + ab + ab, ‎ - 4 -‎ 即a2 + ab + b2=c2 + ab,‎ ‎∴a2+b2=c2‎ 探索二:‎ 如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们能得出“这个三角形是直角三角形”的结论吗?‎ 已知:如图:在△ABC中,AB2+AC2=BC2‎ 求证:△ABC是直角三角形.‎ 分析:要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,即可得证.‎ 证明:作Rt△A′B′C′,使∠A′=90°,A′B′=AB,A′C′=AC(如图),‎ 则A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理).‎ ‎∵AB2+AC2=BC2,A′B′=AB,A′C′=AC,‎ ‎∴BC2=B′C′2,‎ ‎∴BC=B′C′,‎ ‎∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).‎ ‎∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).‎ 因此,△ABC是直角三角形.‎ 总结得勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.‎ 探索三:‎ 观察上面两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?‎ 上面两个定理的条件和结论互换了位置,即勾股定理的条件是第二个定理的结论,结论是第二个定理的条件.这样的两个定理我们称之为互逆定理.‎ 是不是所有的定理都有互逆定理呢?请举例.‎ 如果两个角是对顶角,那么它们相等.‎ - 4 -‎ 如果两个角相等,那么它们是对顶角.‎ 它们就称为互逆命题,如果称每组的第一个命题为原命题,另一个则为逆命题. ‎ 三、交流反思 ‎  这节课我们了解了勾股定理及其逆定理的证明方法,并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道,原命题成立,其逆命题不一定成立,掌握了证明方法,进一步发展了演绎推理能力.‎ 四、检测反馈 说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假:‎ ‎(1)四边形是多边形.‎ ‎(2)两直线平行,同旁内角互补.‎ ‎(3)如果ab=0,那么a=0, b=0‎ 五、布置作业 P17 习题1.5  第1题 六、板书设计 勾股定理 勾股定理的逆定理 互逆命题 互逆定理 七、教学反思 ‎  学生对于命题和逆命题中题设和结论的分析和把握不是太准,部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺,作为教师要关注到学生的个体差异,对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导.‎ - 4 -‎

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