3 线段的垂直平分线
第2课时
【教学目标】
知识技能目标
1.通过动手操作提出并验证猜想,能够证明三角形三边的垂直平分线交于一点.
2.能够利用尺规作出符合条件的三角形,提高熟练使用尺规作图的技能.
过程性目标
经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
情感态度目标
在数学活动中获得成功的体验,体会解决问题的方法,发展实践能力和创新意识.
【重点难点】
重点:掌握三角形三条边的垂直平分线性质,能利用尺规作出符合条件的三角形.
难点: 三角形三条边的垂直平分线性质的证明及应用.
【教学过程】
一、创设情景
问题1: 线段垂直平分线性质定理和判定定理内容是什么?
问题2:你能作出三角形三边的垂直平分线吗?这三条垂直平分线有什么特点?
处理方式:第1问是上节课所学过的内容,找学生直接回答,第2问先让学生在练习本上作出任意三角形的三边垂直平分线,然后让学生观察所作三条垂直平分线的位置关系,对所观察到的进行猜测,从而引入新课的讲解.
设计意图:通过对上节课所学内容的复习为本节课的学习做知识准备,同时问题2的提出主要是为了引起学生的学习兴趣,从而引入新课.
二、探究归纳
探究一:三角形三边垂直平分线的性质
问题1:由上面的作图可以看出“三角形三边的垂直平分线交于一点”,那么这点到三角形三个顶点的距离有何关系呢?
问题2:请同学们拿出已准备好的三角形纸片(锐角、直角、钝角三种三角形都有),通过折叠找出每条边的垂直平分线,用笔描出折痕.观察这三条垂直平分线,你发现了什么?
问题3:你能证明你发现的结论吗?
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处理方式:问题1让学生直接通过上面的作图进行猜测:“这一点到三角形三个顶点的距离相等”这一性质;问题2让学生利用准备好的三种不同的三角形, 分别折出它们的三条垂直平分线,再通过观察得到三角形的三边垂直平分线的性质.
设计意图:让学生利用不同的方法从感官上感受三角形三边垂直平分线的性质,并培养学生动手操作的能力.
探究二: 三角形三边垂直平分线的性质的证明
求证:三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
处理方式:教师引导学生分析,寻找证明方法.
通过演示和启发,引导学生认同:“两直线必交于一点,那么要想证明‘三线共点’,只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可”.
例1:已知:在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线交于点P,连接AP,BP,CP.
求证:P点在AC的垂直平分线上,且PA=PB=PC.
证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等).
同理PB=PC.
∴PA=PC.
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上).
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
且PA=PB=PC.
处理方式:教师出示题目,然后让学生分析讨论,最后师生共同完成证明过程.
三、交流反思
本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点,及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论,并能根据此结论解答“已知等腰三角形的底和底边的高,求作等腰三角形”.
四、检测反馈
1.已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作这个等腰三角形.
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已知:三角形的一条边a和这边上的高h.
求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,BC边上的高为h.
作法:1.作线段BC=a.
2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点.
3.以D为圆心,h长为半径作弧交MN于A点.
4.连接AB,AC. 则△ABC就是所求作的三角形.
2.已知直线l 和 l 上一点 P,用尺规作 l 的垂线,使它经过点 P.你能明白小明的作法吗?
学生先独立思考完成,然后交流,说出作法并解释作图的理由.
五、布置作业
P26 习题1.8 第3.4题
六、板书设计
三垂线性质及证明
三垂线做法
七、教学反思
本节课证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理,并能利用尺规作出已知线段的垂直平分线.已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形,从尺规作图,逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三角形三个顶点的距离相等.
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