直角三角形
一课一练·基础闯关
题组勾股定理及其逆定理的应用
1.(2017·老河口市期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,若AC=6,BC=8,则CD等于 ( )
世纪金榜导学号10164016
A.1 B.2 C.3 D.4.8
【解析】选D.∵∠ACB=90°,
∴AB==10,
根据面积相等得×AC×BC=×AB×CD,
即×6×8=×10×CD,
解得CD=4.8.
2.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为 ( )
A.60海里 B.45海里
C.20海里 D.30海里
【解析】选D.由题意可得:∠B=30°,AP=30海里,∠APB=90°,
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故AB=2AP=60(海里),
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为:
BP==30(海里).
3.(2017·荆州中考)《九章算术》中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何?
意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹稍恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为 世纪金榜导学号10164017( )
A.x2-6=(10-x)2 B.x2-62=(10-x)2
C.x2+6=(10-x)2 D.x2+62=(10-x)2
【解析】选D.
如图,设折断处离地面的高度为x尺,
则AB=10-x,BC=6,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即x2+62=(10-x)2.
4.(2017·绍兴中考)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为 ( )
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
【解析】选C.在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,
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∴AB2=0.72+2.42=6.25.
在Rt△A′BD中,∵∠A′DB=90°,A′D=2米,
BD2+A′D2=A′B2,∴BD2+22=6.25,
∴BD2=2.25,
∵BD>0,∴BD=1.5米,
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.
5.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为________________. 世纪金榜导学号10164018
【解析】(1)若∠APB=90°,
当点P在OC上时,AP=AB=2;
当点P在CO的延长线上时,BP=AB=2,AP=2.
(2)当∠PBA=90°时,BP=2,AP===2.
答案:2或2或2
【归纳整合】勾股定理主要用来求三角形的边长,只要知道直角三角形的两条边,就可以求出它的第三条边,当我们只知道直角三角形的一条边时,如果我们可以找到另外两边的关系,也可以通过列方程(组)的方法求出另外两条边.若未指明哪条边是直角边或斜边时,要分类讨论防止漏解.
6.如图,为修铁路需凿通隧道AC,测得∠A=50°,∠B=40°,AB=5km,BC=4km,若每天凿隧道0.3km,问几天才能把隧道凿通?
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【解析】∵∠A=50°,∠B=40°,∴∠C=90°,
∴AC2=AB2-BC2=52-42=9,
∴AC=3km,∵=10(天),
∴10天才能将隧道凿通.
题组互逆命题和互逆定理
1.命题“同角的补角相等”的逆命题是 ( )
A.真命题
B.假命题
C.有时是真命题,有时是假命题
D.互补的两个角相等
【解析】选B.同角的补角相等的逆命题是补角相等的两个角是同角,这句话是错误的,所以是假命题.
2.(2017·汇川区校级月考)下列定理中,没有逆定理的是 ( )
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形两个锐角的和等于90°
【解析】选B.等腰三角形的两个底角相等的逆命题为:有两个角相等的三角形为等腰三角形,此逆命题为真命题,所以A选项有逆定理;对顶角相等的逆命题为:相等的角为对顶角,此命题为假命题,所以B选项没有逆定理;三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为:全等的两个三角形的三边对应相等,此逆命题为真命题,所以C选项有逆定理;直角三角形的两锐角的和为90°的逆命题为:两锐角的和为90°的三角形为直角三角形,此逆命题为真命题,所以D选项有逆定理.
【归纳整合】互逆命题和互逆定理的真假关系
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(1)互逆命题的真假没有必然的联系,它们的真假都必须经过说明论证或经过反例验证(假命题),原命题真,逆命题不一定真,原命题假,而逆命题不一定假.
(2)因为一个定理的逆命题不一定是真命题,所以并不是所有的定理都有逆定理.
3.(2017·孝南区月考)“等角的余角相等”的逆命题是______________________.
【解析】“等角的余角相等”改写成“如果两个角相等,那么它们的余角也相等”.
所以:“等角的余角相等”的条件是:两个角相等;
结论是:它们的余角也相等,逆命题是:如果两个角的余角相等,那么这两个角相等.
答案:如果两个角的余角相等,那么这两个角相等
4.下列命题:①若a>0,则a2>0;②和为180°的两个角互为补角.其中逆命题为真命题的是______________.
【解析】①的逆命题是“若a2>0,则a>0”,是假命题;
②的逆命题是“互为补角的两个角的和为180°”,是真命题;故逆命题为真命题的是②.
答案:②
5.写出下列命题的逆命题,并判定真假.
(1)如果x2=4,那么x=2.
(2)全等三角形的面积相等.
【解析】(1)如果x=2,那么x2=4,真命题.
(2)面积相等的三角形是全等三角形,假命题.
已知三角形的三边分别为a,b,c,且a=m-1,b=2,c=m+1(m>1). 世纪金榜导学号10164019
(1)请判断这个三角形的形状.
(2)试找出一组直角三角形的三边的长,使它的最小边不小于20,另两边的差为2,三边均为正整数.
【解析】(1)∵(m-1)2+(2)2
=m2-2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2,
∴a2+b2=c2,∴这个三角形一定是直角三角形.
(2)取b=20,即2=20,
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∴m=100,
∴a=m-1=99,c=m+1=101.
∴直角三角形的三边长可以是20,99,101.(答案不唯一)
【母题变式】
[变式一]已知三角形的三边长分别是a2+1,2a,a2-1(a>1),则这个三角形是直角三角形吗?请说明理由.
【解析】是;理由如下:
∵(a2-1)2+(2a)2=a4-2a2+1+4a2=(a2+1)2,
∴这个三角形是直角三角形.
[变式二](2017·黄冈期中)已知a,b,c满足(a-7.5)2++|c-8.5|=0.求:
(1)a,b,c的值.
(2)求以a,b,c为边构成的三角形面积.
【解析】(1)∵a,b,c满足(a-7.5)2++|c-8.5|=0,
∴a-7.5=0,b-4=0,c-8.5=0.
解得:a=7.5,b=4,c=8.5.
(2)∵a=7.5,b=4,c=8.5,
∴a2+b2=7.52+42=72.25=8.52=c2,
∴此三角形是直角三角形,
∴S△=×7.5×4=15.
[变式一](2017·渝水区校级月考)已知a,b,c是△ABC的三边,且满足(a+4)∶(b+3)∶(c+8)=3∶2∶4,且a+b+c=12,请探索△ABC的形状.
【解析】令a+4=3k,b+3=2k,c+8=4k,
∴a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8.
又∵a+b+c=12,
∴(3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12,
∴k=3.
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∴a=5,b=3,c=4.
∵b2+c2=a2,
∴△ABC是直角三角形.
[变式二]已知a,b,c为△ABC的三边之长,且满足a4-b4-a2c2+b2c2=0,试判断△ABC的形状.
【解析】∵a4-b4-a2c2+b2c2=0,
∴(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0,
∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
∴a2-b2=0或a2+b2=c2.
∴a=b或a2+b2=c2.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
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