线段的垂直平分线
一课一练·基础闯关
题组线段垂直平分线的性质和判定的应用
1.(2017·永州模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AB的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E,则∠BAE= ( )
A.80° B.60° C.50° D.40°
【解析】选D.∵AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠B=40°.
2.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点C在AE的垂直平分线上,若DE=10cm,则AB+BD=________cm.
世纪金榜导学号10164024
【解析】∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BD=CD,又∵点C在AE的垂直平分线上,∴AB+BD=AC+CD=EC+CD=DE=10cm.
答案:10
3.如图,在△ABC中,∠C=31°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A=________.
【解析】∵在△ABC中,∠C=31°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,
∴∠DBE=∠ABC=(180°-31°-∠A)=(149°-∠A),
∵DE垂直平分BC,∴BD=DC,∴∠DBE=∠C,
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∴∠DBE=(149°-∠A)=∠C=31°,∴∠A=87°.
答案:87°
4.(2017·松江区一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则CE的长为________.
【解析】设CE=x,连接AE,
∵DE是线段AB的垂直平分线,
∴AE=BE=BC+CE=3+x,
∴在Rt△ACE中,AE2=AC2+CE2,即(3+x)2=42+x2,
解得x=.
答案:
5.(2017·门头沟区一模)如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD.
求证:AB∥DF. 世纪金榜导学号10164025
【证明】∵EF垂直平分BD,
∴FB=FD,
∴∠FBD=∠BDF,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠FBD,
∴∠ABD=∠BDF,
∴AB∥DF.
6.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于D.求证:D在AB的垂直平分线上.
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【证明】∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.
又∵BD平分∠ABC,
∴∠DBA=∠ABC=30°=∠A.∴BD=AD,
∴D在AB的垂直平分线上.
题组作线段的垂直平分线
1.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为 ( )
A.65° B.60° C.55° D.45°
【解析】选A.由题意可得:MN是AC的垂直平分线,
则AD=DC,故∠C=∠DAC,
∵∠C=30°,∴∠DAC=30°,∵∠B=55°,∴∠BAC=95°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=65°.
2.(2017·河南模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D是AC的中点,连接BD,按以下步骤作图:①分别以B,D为圆心,大于BD的长为半径作弧,两弧相交于点P和点Q;②作直线PQ交AB于点E,交BC于点F,则BF为 世纪金榜导学号10164026( )
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A. B.1 C. D.
【解析】选C.连结DF,由作法得EF垂直平分BD,则BF=DF,
∵点D是AC的中点,∴CD=AC=2,
设BF=x,则DF=x,CF=3-x,
在Rt△DCF中,22+(3-x)2=x2,解得x=,
即BF=.
3.为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A,B,C不在同一直线上,地理位置如图所示),请你用尺规作图的方法确定点P的位置.
要求:不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹.
【解析】如图所示:
4.(2017·玉林一模)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=
30°,AB=4. 世纪金榜导学号10164027
(1)作AC边上的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法和证明).
(2)连接CE,求△BEC的周长.
【解析】(1)如图,DE为所作.
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(2)∵∠BCA=90°,∠A=30°,AB=4.
∴BC=AB=2,
∵DE垂直平分AC,
∴EC=EA,
∴△BEC的周长=BE+EC+BC=BE+EA+BC
=AB+BC=4+2=6.
(2017·山亭区期中)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AC=6cm,且△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为 ( )
A.13cm B.19cm C.10cm D.16cm
【解析】选B.∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=DC,
∵△ABD的周长为13cm,
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm,
∵AC=6cm,
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13cm+6cm=19cm.
【母题变式】
如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC的周长为19cm,△ABD的周长为13cm,则AE的长为 ( )
A.3cm B.6cm
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C.12cm D.16cm
【解析】选A.∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=DC,AE=CE=AC,
∵△ABC的周长为19cm,△ABD的周长为13cm,
∴AB+BC+AC=19cm,AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm,
∴AC=6cm,∴AE=3cm.
[变式一]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC
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