4 角 平 分 线
第1课时
【教学目标】
知识技能目标
1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理(判定定理),会用这两个定理解决一些简单问题.
2.理解角平分线的性质定理及其逆定理的证明.
过程性目标
能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题,培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.
情感态度目标
进一步发展学生的推理证明意识和能力,通过合作交流、自主评价,促进良好的学习态度的形成.
【重点难点】
重点:运用角平分线的性质定理和逆定理解决简单的几何问题.
难点:掌握角平分线的性质定理和逆定理及其证明.
【教学过程】
一、创设情境
我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质,步骤如下:从折纸过程中,我们可以得出CD=CE,即角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.你能证明它吗?
二、探究归纳
探究一:
引导学生证明性质定理
请同学们自己尝试着证明上述结论,然后在全班进行交流.
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E.
求证:PD=PE.
证明:∵∠1=∠2,OP=OP,
∠PDO=∠PEO=90°,
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∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)
我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论.我们把它叫做角平分线的性质定理. (用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
探究二:
你能写出这个定理的逆命题吗?
我们在前面学习线段的垂直平分线时,已经历过构造其逆命题的过程,我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题.
引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题:
在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 你能证明它吗?
没有加“在角的内部”时,是假命题.
(由学生自己独立思考完成,在全班讨论交流,对困难学生可个别辅导)
证明如下:
已知:在△AOB内部有一点P,且PD⊥OA,PE⊥OB,点D,E为垂足且PD=PE,
求证:点P在∠AOB的平分线上.
证明:PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△ODP和Rt△OEP中,
OP=OP,PD=PE,
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理).
∴∠POD=∠POE(全等三角形对应角相等).
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了,那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理.
用直尺和圆规画已知角的平分线及讨论作图的依据.
设计意图:通过判定定理的证明,加深对角平分线性质定理和判定定理的理解与区分.在教学中渗透类比思想,感受数学的思想和方法.
三、交流反思
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这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理,在有角的平分线(或证明是角的平分线)时,过角平分线上的点向两边作垂线段,利用角平分线的判定定理或性质定理使问题迅速得到解决.
四、检测反馈
在 △ABC 中,∠ BAC=60°,点 D 在 BC 上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,且 DE=DF,求 DE 的长.
五、布置作业
P30 习题1.9 第1,2,3,4题.
六、板书设计
角平分线性质定理证明
逆定理及证明
七、教学反思
教学时,采用“实验—猜想—验证”的课堂教学方法,适时启发诱导,让学生展开讨论,充分发挥学生的主体参与意识,激发学习兴趣,调动学习的积极性,培养学生良好的思维方法与习惯.学生初学角平分线的性质定理和判定定理,容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段.因此在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点.学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理,因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识.学生习惯用找全等三角形的方法去解决问题,而不注重利用刚学过的定理来解决,这实际上是对定理的重复证明,这一点在教学时要注意.
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