等腰三角形
一课一练·基础闯关
题组等腰三角形中相关线段的性质
1.(2017·和县模拟)等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成的角的度数是 ( )
A.42° B.60° C.36° D.46°
【解析】选A.如图:△ABC中,AB=AC,BD是边AC上的高.
∵∠A=84°,且AB=AC,
∴∠ABC=∠C=(180°-84°)÷2=48°;
在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠C=48°;
∴∠DBC=90°-48°=42°.
2.(2017·崇州市期末)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E,若∠E=35°,则∠BAC的度数为 ( )
世纪金榜导学号10164004
A.40° B.45° C.50° D.55°
【解析】选A.∵AE∥BD,∴∠CBD=∠E=35°,
∵BD平分∠ABC,∴∠CBA=70°,
∵AB=AC,∴∠C=∠CBA=70°,
∴∠BAC=180°-70°×2=40°.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为 ( )
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A.15° B.17.5°
C.20° D.22.5°
【解析】选A.∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ACE=∠A+∠ABC,
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,
∴2∠1=2∠3+∠A,
∵∠1=∠3+∠D,
∴∠D=∠A=×30°=15°.
4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和9cm,则它的周长为________.
【解析】①若腰长和腰长的一半的和是9,则腰长为6,
底边长为15-×6=12,
∵6+6=12,∴此时不能组成三角形;
②若腰长和腰长的一半的和是15,则腰长为10,
底边长为9-×10=4,能组成三角形,
∴它的周长为10+10+4=24(cm).
综上所述,该等腰三角形的周长是24cm.
答案:24cm
【易错提醒】此类问题要分情况进行讨论,且要注意检验得到的三边能否构成三角形.
【备选习题】已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分,则这个等腰三角形的底边长是 ( )
A.6 B.22
C.6或22 D.10或18
【解析】选A.设AD=x,
则当2x+x=15时,x=5,即AB=AC=10,
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∴底边长为27-5=22(不符合三角形三边关系,舍去);当2x+x=27时,x=9,即AB=AC=18,
∴底边长为15-9=6(符合三角形的三边关系),
综上可知,底边BC的长为6.
5.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O. 世纪金榜导学号10164005
(1)求证:OB=OC.
(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.
【解析】(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵BD,CE是△ABC的两条高线,
∴∠BEC=∠BDC=90°,
∴△BEC≌△CDB.
∴∠DBC=∠ECB,BE=CD.
在△BOE和△COD中,
∵∠BOE=∠COD,BE=CD,∠BEC=∠BDC=90°,
∴△BOE≌△COD,
∴OB=OC.
(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,
∴∠A=180°-2×50°=80°,
∴∠DOE+∠A=180°,
∴∠BOC=∠DOE=180°-80°=100°.
题组等边三角形的性质及应用
1.(2017·南充中考)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为 ( )
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A.(1,1) B.(,1)
C.(,3) D.(1,)
【解析】选D.如图所示,过点B作BC⊥AO于点C,
∵△AOB是等边三角形,
∴OC=AO=1,
∴在Rt△BOC中,BC==,
∴B(1,).
2.如图,直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点,以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点C向左平移,使其对应点C′恰好落在直线AB上,则点C′的坐标为________.
世纪金榜导学号10164006
【解析】∵直线y=2x+4与y轴交于B点,
∴x=0时,得y=4,∴B(0,4).
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,
∴C在线段OB的垂直平分线上,
∴C点纵坐标为2.
将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,
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解得x=-1.
所以点C′的坐标为(-1,2).
答案:(-1,2)
3.如图,△ABD,△ACE都是等边三角形,BE和CD交于O点,则∠BOC=________度.
【解析】∵△ABD,△ACE都是等边三角形,
∴AD=AB,∠DAB=∠EAC=60°,AC=AE,
∴∠DAC=∠EAB,∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴DC=BE,∠ADC=∠ABE,∠AEB=∠ACD,
∴∠BOC=∠CDB+∠DBE
=∠CDB+∠DBA+∠ABE
=∠ADC+∠CDB+∠DBA=120°.
答案:120
【变式训练】如图,O为等边三角形ABC内一点,∠OCB=∠ABO,则∠BOC的度数是________.
【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,
∵∠OCB=∠ABO,∴∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABO=∠ABC=60°,
∴在△OBC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-60°=120°.
答案:120°
4.(2017·宁夏中考)在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥AC,M,N分别为垂足.
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求证:不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.
【证明】连接AP,过C作CD⊥AB于D,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,
∴AB·CD=AB·PM+AC·PN,
∴PM+PN=CD,
即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.
5.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
世纪金榜导学号10164007
【解析】猜想:AP=CQ.
证明:在△ABP与△CBQ中,
∵AB=CB,BP=BQ,∠ABC=∠PBQ=60°,
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ,
∴△ABP≌△CBQ,∴AP=CQ.
(2017·淄博中考)在边长为4的等边三角形ABC中,点D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=______.
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【解析】如图,作AG⊥BC于点G,
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,
∴AG=AB=2,
连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,
∴AB·DE+AC·DF=BC·AG,
∵AB=AC=BC=4,
∴DE+DF=AG=2.
答案:2
【母题变式】
[变式一](2017·唐河县期末)如图,在△ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为 ( )
A.4.8 B.8
C.8.8 D.9.8
【解析】选D.从B向AC作垂线段BP,交AC于P,点P即为所求.设AP=x,则CP=5-x,
在Rt△ABP中,BP2=AB2-AP2,
在Rt△BCP中,BP2=BC2-CP2,
∴AB2-AP2=BC2-CP2,
∴52-x2=62-(5-x)2,解得x=1.4,
在Rt△ABP中,BP==4.8,
∴AP+BP+CP的最小值为5+4.8=9.8.
[变式二]已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为 ( )
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A. B.
C. D.不能确定
【解析】选B.等边三角形的边长是3,所以等边三角形的高是.设点P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则×3(h1+h2+h3)=×3×,所以h1+h2+h3=.
[变式三]已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的距离是__________.
【解析】如图,连接PA,PB,PC,
作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,
PF⊥AC于点F,AH⊥BC于点H,
则PD=1,PF=2,AH=4,
∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC,
∵S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA,
∴AH·BC=PD·AB+PE·BC+PF·AC,
∴4=1+PE+2,∴PE=1,
即点P到BC的距离为1.
答案:1
[变式四]等边三角形的边长为a,P是等边三角形内一点,则P到三边的距离之和是________.
【解析】如图,∵等边三角形的边长为a,
∴等边三角形的高为a,
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连接PA,PB,PC,设点P到AB,BC,AC边的距离分别为h1,h2,h3,
则S△ABC=a·a=AB·h1+BC·h2+AC·h3,即a·a=a·h1+a·h2+a·h3,
整理得,h1+h2+h3=a,
即P到三边的距离之和是a.
答案:a
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