直角三角形
一课一练·基础闯关
题组直角三角形全等的判定
1.(2017·澧县期中)下列不能使两个直角三角形全等的条件是 ( )
A.一条直角边及其对角对应相等
B.斜边和一条直角边对应相等
C.斜边和一锐角对应相等
D.两个锐角对应相等
【解析】选D.选项A符合AAS,正确;选项B符合HL,正确;选项C符合AAS,正确;选项D因为判定三角形全等必须有边的参与,错误.故选D.
2.(2017·福清市期末)如图,已知AC⊥BD,垂足为O,AO=CO,AB=CD,则可得到△AOB≌△COD,理由是 ( )
世纪金榜导学号10164020
A.HL B.SAS C.ASA D.AAS
【解析】选A.在Rt△AOB和Rt△COD中,
∵AO=CO,AB=CD,
∴Rt△AOB≌Rt△COD(HL).
3.(2017·文安县期中)如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,AC∥DB,且AC=BD,那么Rt△AEC≌Rt△BFD的理由是 ( )
A.SSS B.AAS C.SAS D.HL
【解析】选B.∵AC∥BD,∴∠A=∠B,
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∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠AEC=∠DFB,且AC=BD,
∴在Rt△AEC和Rt△BFD中,满足AAS.
4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是 ( )
【解析】选A.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,
∴AC=2,∠A=60°,在A选项中,同理可知斜边为4,故由HL能判定两三角形全等.
【易错提醒】由两直角三角形仅有一组边对应相等,判断其两个三角形全等是错误的!
5.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
世纪金榜导学号10164021
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF.
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.
【解析】(1)∵∠ABC=90°,
∴∠CBF=∠ABE=90°,
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∴Rt△ABE≌△Rt△CBF(HL).
(2)∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ACB=45°,
又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,
由(1)知:Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.
题组直角三角形全等的应用
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1.(2017·达州月考)如图,AB⊥AC于点A,BD⊥CD于点D,若AC=DB,则下列结论中不正确的是 ( )
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB
C.OB=OD D.OA=OD
【解析】选C.∵AB⊥AC于点A,BD⊥CD于点D,
∴∠A=∠D=90°(A正确).
又∵AC=DB,BC=BC,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB,
∴∠ABC=∠DCB(B正确),
∴AB=CD.
又∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△DOC,
∴OA=OD(D正确),
C中OD,OB不是对应边,不相等.
2.如图,在Rt△ABC与Rt△DEF中,∠B=∠E=90°,AC=DF,AB=DE,∠A=50°,则∠DFE=________.
世纪金榜导学号10164022
【解析】在Rt△ABC与Rt△DEF中,
∵∠B=∠E=90°,AC=DF,AB=DE,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴∠D=∠A=50°,
∴∠DFE=90°-∠D=90°-50°=40°.
答案:40°
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3.如图,BE,CD是△ABC的高,且BD=EC,CD=5,则BE=________.
【解析】∵BE,CD是△ABC的高,
∴∠CDB=∠BEC=90°,
在Rt△BCD和Rt△CBE中,
BD=EC,BC=CB,
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL).∴BE=CD=5.
答案:5
4.如图,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过D作BC的垂线,交AC于点E,若AE=12cm,则DE的长为______cm.
【解析】连接BE.
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,
过D作BC的垂线,交AC于E,
∴∠A=∠BDE=90°,
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中,BD=AB(已知),
BE=BE(公共边),
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL),∴AE=DE.
又∵AE=12cm,∴DE=12cm.
答案:12
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(2017·兰陵县期末)在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
世纪金榜导学号10164023
(1)若B,C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.
求证:AB⊥AC.
(2)若B,C在DE的两侧(如图所示),其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.
【解析】(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ACE中,
∵AB=AC,AD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠CAE.
∵∠DAB+∠DBA=90°,∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.证明如下:
同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC,
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.
【母题变式】
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[变式一]如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=________.
【解析】∵MN∥PQ,AB⊥PQ,∴AB⊥MN,
∴∠DAE=∠EBC=90°,
在Rt△ADE和Rt△BEC中,
∵DE=EC,AD=BE,
∴△ADE≌△BEC(HL),
∴AE=BC,
∵AD+BC=7,∴AB=AE+BE=AD+BC=7.
答案:7
[变式二](2017·微山县期末)如图,两棵大树间相距13m,小华从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他仰望两棵大树的顶点A和D,两条视线的夹角正好为90°,且EA=ED.已知大树AB的高为5m,小华行走的速度为1m/s,小华走的时间是 ( )
A.13s B.8s C.6s D.5s
【解析】选B.∵∠AED=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,
∵∠ABE=90°,∴∠A+∠AEB=90°,
∴∠A=∠DEC,
在△ABE和△DCE中,
∵∠B=∠C,∠A=∠DEC,AE=DE,
∴△ABE≌△ECD(AAS),
∴EC=AB=5m,
∵BC=13m,∴BE=8m,
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∴小华走的时间是8÷1=8(s).
[变式三](2017·无锡月考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4cm,CE=3cm,则DE=________cm.
【解析】∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°,
∴∠BAD+∠EAC=90°,∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠EAC=∠ABD,
∵AB=AC,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴AD=CE,BD=AE,
∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm.
答案:7
[变式四](2017·玉田县期末)如图,AB=12,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P,Q两点同时出发,运动________分钟后△CAP与△PQB全等.
【解析】∵CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,
∴∠A=∠B=90°,
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等;
则BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12-x)m,
分两种情况:
①若BP=AC,则x=4,
AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ,
∴△CAP≌△PBQ;
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②若BP=AP,则12-x=x,
解得:x=6,BQ=12≠AC,
此时△CAP与△PQB不全等;
综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等.
答案:4
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