4.4 平行线的判定
一．选择题（共 7 小题）
1．如图所示，下列条件能判断 a∥b 的有（ ）
（第 1 题图）
A．∠1+∠2=180° B．∠2=∠4 C．∠2+∠3=180° D．∠1=∠3
2．如图，下面推理中，正确的是（ ）
（第 2 题图）
A．∵∠A=∠D，∴AB∥CD B．∵∠A=∠B，∴AD∥BC
C．∵∠A+∠D=180°，∴AB∥CD D．∵∠B+∠C=180°，∴AD∥BC
3．如图，已知∠1=∠2，∠3=71°，则∠4 的度数是（ ）
（第 3 题图）
A．19° B．71° C．109° D．119°
4．如图，结合图形作出了如下判断或推理：
（第 4 题图）
①如图甲，CD⊥AB，D 为垂足，那么点 C 到 AB 的距离等于 C、D 两点间的距离；②如图乙，如果 AB∥CD，那么∠B=∠D；
③如图丙，如果∠ACD=∠CAB，那么 AD∥BC；
④如图丁，如果∠1=∠2，∠D=120°，那么∠BCD=60°．
其中正确的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，直线 a，b 被直线 c 所截，∠1=62°，∠3=80°，现逆时针转动直线 a 至 a′位置，
使 a′∥b，则∠2 的度数是（ ）
（第 5 题图）
A．8° B．10° C．18° D．28°
6．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（ ）
（第 6 题图）
A．∠1=∠3 B．如果∠2=30°，则有 AC∥DE
C．如果∠2=30°，则有 BC∥AD D．如果∠2=30°，必有∠4=∠C
7．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知 EF⊥AB，CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG=∠BFE，则能得到∠AGD=∠ACB．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD=∠ACB，
可得到∠CDG=∠BFE．”
小刚说：“∠AGD 一定大于∠BFE．”
小颖说：“如果连接 GF，则 GF 一定平行于 AB．”
他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的．（第 7 题图）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共 4 小题）
8．如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理
是 ．
（第 8 题图）
9．如图，根据图形填空
（1）∵∠A= （已知）∴AC∥DE（ ）
（2）∵∠2= （已知）∴DF∥AB（ ）
（3）∵∠2+∠6=180°（已知）∴ ∥ （ ）
（4）∵AB∥DF（已知）∴∠A+∠ =180°（ ）．
（第 9 题图）
10．如图，已知 GF⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D=∠F；③HE
平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的是 （只填序号）（第 10 题图）
11．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点 B、D 重合，若固定三角形 AOB，
改变△ACD 的位置（其中 A 点位置始终不变），使三角形 ACD 的一边与三角形 AOB 的某一边
平行时，写出∠BAD 的所有可能的值 ．
（第 11 题图）
三．解答题（共 5 小题）
12．完成下面的证明：
已知：如图．BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵DE 平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ ）．
∵BE 平分∠ABD（已知），
∴∠ABD= （角的平分线的性质）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ ）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC= （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
（第 12 题图）13．如图①是大众汽车的图标，图②是该图标轴抽象的几何图形，且 AE∥BF，∠A=∠B，试
猜想 AC 与 BD 的位置关系，并说明理由．
（第 13 题图）
14．如图 1 为北斗七星的位置图，如图 2 将北斗七星分别标为 A，B，C，D，E，F，G，将 A，
B，C，D，E，F 顺次首尾连结，若 AF 恰好经过点 G，且 AF∥DE，∠B=∠C+10°，
∠D=∠E=105°．
（第 14 题图）
（1）求∠F 的度数．
（2）计算∠B﹣∠CGF 的度数是 ．（直接写出结果）
（3）连结 AD，∠ADE 与∠CGF 满足怎样数量关系时，BC∥AD，并说明理由．15．如图 1，将一条两边沿互相平行的纸带折叠（AM∥BN，AD∥BC），AB 为折痕，AD 交 BN
于点 E．
（1）试说明∠MAD=∠NBC 的理由；
（2）设∠MAD 的度数为 x，试用含 x 的代数式表示∠ABE 的度数；
（3）如若按图 2 形式折叠．
试问（2）中的关系式是否仍然成立？请说明理由．
若∠ABE 的度数是∠MAD 的两倍，求此时∠MEC 的度数．
（第 15 题图）
16．如图 1，已知两条直线 AB，CD 被直线 EF 所截，分别交于点 E，点 F，EM 平分∠AEF 交 CD
于点 M，且∠FEM=∠FME．
（1）判断直线 AB 与直线 CD 是否平行，并说明理由；
（2）如图 2，点 G 是射线 MD 上一动点（不与点 M，F 重合），EH 平分∠FEG 交 CD 于点 H，过点 H 作 HN⊥EM 于点 N，设∠EHN=α，∠EGF=β．
①当点 G 在点 F 的右侧时，若 β=50°，求 α 的度数；
②当点 G 在运动过程中，α 和 β 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证
明．
（第 16 题图）参考答案
一．1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B
二．8．内错角相等，两直线平行
9．（1）∠4；同位角相等，两直线平行；（2）∠4；内错角相等，两直线平行；（3）AB，
DF，同旁内角互补，两直线平行；（4）7；两直线平行，同旁内角互补
10．①④ 11．15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．
三．12．证明：∵DE 平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ 角平分线的性质）．
∵BE 平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠2（角的平分线的性质）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代换）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等量代换）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
13．解：AC∥BD，理由：
∵AE∥BF，
∴∠B=∠DOE.
∵∠A=∠B，
∴∠DOE=∠A，
∴AC∥BD．
14．解：（1）∵AF∥DE，
∴∠F+∠E=180°，
∴∠F=180°﹣105°=75°；
（2）如答图，延长 DC 交 AF 于点 K.
（第 14 题答图）可得：∠B﹣∠CGF=∠C+10°﹣∠CGF=∠GKC+10°=∠D+10°=115°.
（3）当∠ADE+∠CGF=180°时，BC∥AD，
∵AF∥DE，
∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，
∴∠GAD=∠CGF，
∴BC∥AD．
15．解：（1）∵AM∥BN，AD∥BC，
∴∠MAD=∠NED，∠NED=∠NBC，
∴∠MAD=∠NBC；
（2）如答图 1，∵AM∥BN，
∴∠ABE=∠BAF，MAD=∠BEA=x，
由折叠可得，∠FAB=∠BAE，
∴∠ABE=∠BAE，
即△ABE 是等腰三角形，
又∵∠BEA=x，
∴∠ABE= ；
（3）第（2）问中的关系式成立，理由：
如答图 2，∵AM∥BN，
∴∠ABF=∠BAE，MAD=∠BEA=x，
由折叠可得，∠FBA=∠ABE，
∴∠ABE=∠BAE，
即△ABE 是等腰三角形，
又∵∠BEA=x，
∴∠ABE= ；
∵∠ABE 的度数是∠MAD 的两倍，
∴∠ABE=2x，
又∵∠ABE= ，∴2x= ，
解得 x=36°，
∴∠MAD=36°，
∵AD∥BC，
∴∠MEC=∠MAD=36°．
（第 15 题答图）
16．解：（1）∵EM 平分∠AEF
∴∠AEF=∠FME，
又∵∠FEM=∠FME，
∴∠AEF=∠FEM，
∴AB∥CD；
（2）①如答图 2，∵AB∥CD，β=50°
∴∠AEG=130°，
又∵EH 平分∠FEG，EM 平分∠AEF
∴∠HEF= ∠FEG，∠MEF= ∠AEF，
∴∠MEH= ∠AEG=65°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN 中，∠EHN=90°﹣65°=25°，
即 α=25°；
②分两种情况讨论：
如答图 2，当点 G 在点 F 的右侧时，α= ．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG=180°﹣β，又∵EH 平分∠FEG，EM 平分∠AEF
∴∠HEF= ∠FEG，∠MEF= ∠AEF，
∴∠MEH= ∠AEG= （180°﹣β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN 中，∠EHN=90°﹣∠MEH=90°﹣ （180°﹣β）= ，
即 α= ；
如答图 3，当点 G 在点 F 的左侧时，α=90°﹣ ．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠EGF=β，
又∵EH 平分∠FEG，EM 平分∠AEF
∴∠HEF= ∠FEG，∠MEF= ∠AEF，
∴∠MEH=∠MEF﹣∠HEF
= （∠AEF﹣∠FEG）
= ∠AEG
= β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN 中，∠EHN=90°﹣∠MEH，
即 α=90°﹣ ．（第 16 题答图）
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