4.5 垂线
一．选择题（共 5 小题）
1．如图，在三角形 ABC 中，∠C=90°，AC=5，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 的长不可能是
（ ）
（第 1 题图）
A．4.5 B．5 C．6 D．7
2．如图，直线 AB，CD 相交于点 O，PE⊥AB 于点 E，PF⊥CD 于点 F，且∠AOC=50°，则∠EPF=
（ ）
（第 2 题图）
A．50° B．60° C．40° D．30°
3．已知直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点 D 从点 A 到点 B 沿 AB 运动，
CD=x，则 x 的取值范围是（ ）
（第 3 题图）
A． B． C． D．
4．如图，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点 P 是 BC 边上一动点，则线段 AP 的长不可能是（ ）
（第 4 题图）A．2.5cm B．3cm C．4cm D．5cm
5．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有
且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与
直线上各点的所有线段中，垂线段最短
二．填空题（共 7 小题）
6．在同一平面内，三条不同的直线 a、b、c，若 a⊥c，b⊥c，则 ．
7．在△ABC 中∠B=90°，BC=5，AB=12，AC=13，则点 B 到斜边 AC 的距离是 ．
8．在数学课上，老师提出如下问题：
如图 1，需要在 A，B 两地和公路 l 之间修地下管道，
请你设计一种最节省材料的修建方案．
小军同学的作法如下：①连接 AB：②过点 A 作 AC⊥直线 l 于点 C；则折线段 B﹣A﹣C 为所
求 ， 老 师 说 ： 小 军 同 学 的 方 案 是 正 确 的 ． 请 回 答 ： 该 方 案 最 节 省 材 料 的 依 据
是 ．
（第 8 题图）
9．如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥AB，垂足为 O，如果∠COE=40°，则∠AOD 等于
度．
（第 9 题图）
10 ． 如 图 ， 直 线 AB ． CD 相 交 于 点 E ， EF⊥AB 于 点 E ， 若 ∠AED=145° ， 则 ∠CEF= °．
（第 10 题图）
11．如图，已知直线 AB 与 CD 相交于点 O，OM⊥CD，若∠BOM=25°，则∠AOC 的度数为
°．
（第 11 题图）
12．如图，三条直线 AB、CD、EF 相交于 O，且CD⊥EF，∠AOE=68°．若 OG 平分∠BOF，则∠DOG=
度．
（第 12 题图）
三．解答题（共 5 小题）
13．如图 1，已知 A、O、B 三点在同一直线上，射线 OD、OE 分别平分∠AOC、∠BOC．
（1）求∠DOE 的度数；
（2）如图 2，在∠AOD 内引一条射线 OF⊥OC，其他不变，设∠DOF=ao（oo＜a＜90o）．
a．求∠AOF 的度数（用含 a 的代数式表示）；
b．若∠BOD 是∠AOF 的 2 倍，求∠DOF 的度数．（第 13 题图）
14．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥CD，∠AOC=50°．求∠BOE 的度数．
（第 14 题图）
15．如图直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 垂足为 O，
（1）与∠1 互为补角的角是 ；
（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1 的度数．
（第 15 题图）
16．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OM⊥AB．
（1）若∠1=∠2，求∠NOD 的度数；
（2）若∠1= ∠BOC，求∠AOC 和∠MOD 的度数．（第 16 题图）
17．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥OD，OE 平分∠AOF．
（1）∠BOD 与∠DOF 相等吗？请说明理由．
（2）若∠DOF= ∠BOE，求∠AOD 的度数．
（第 17 题图）
参考答案
一．1．A 2．A 3．C 4．A 5．A
二．6． a∥b 7． 8．两点之间，线段最短，垂线段最短 9．130 10．55
11．115 12．56三．13．解：（1）∵点 A，O，B 在同一条直线上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
∴∠COD= ∠AOC，∠COE= ∠BOC
∴∠COD+∠COE= （∠AOC+∠BOC）=90°，
∴∠DOE=90°；
（2）a．∵OC⊥OF，
∴∠COF=90°，
∵∠DOF=αo，
∴∠COD=90°﹣α°，
∵∠AOD=∠COD，
∴∠AOF=∠AOD﹣∠DOF=90°﹣α°﹣α°=（90﹣2α）°，
b．∵∠BOD 是∠AOF 的 2 倍，
∴180°﹣（90﹣α）°=2（90﹣2α）°，
α=18°，
即∠DOF=18°．
14．解：∵∠BOD=∠AOC=50°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∴∠BOE=90°﹣50°=40°，
15．解：（1）与∠1 互为补角的角是∠EOD；
（2）∵∠AOC：∠2=3：2，
∴设∠AOC=3x，则∠2=2x，
故 3x+2x=180°，
解得 x=36°，
则∠2=72°，
∵EO⊥AB 垂足为 O，
∴∠AOE=90°，
∴∠1 的度数为 18°．16．解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠1+∠AOC=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠NOC=∠2+∠AOC=90°，
∴∠NOD=180°﹣∠NOC=180°﹣90°=90°；
（2）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠BOM=90°，
∵∠1= ∠BOC，
∴∠BOC=∠1+90°=3∠1，
解得∠1=45°，
∠AOC=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，
∠MOD=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°．
17．解：（1）∠BOD=∠DOF，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE=90°，
∴∠EOF+∠DOF=90°，∠AOE+∠BOD=90°，
∵OE 平分∠AOF，
∴∠AOE=∠EOF，
∴∠BOD=∠DOF；
（2）∵∠DOF= ∠BOE，
∴设∠DOF=x°，则∠BOE=4x°，∠BOD=x°，
∴∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=3x°，
∵∠DOE=90°，
∴3x=90，即 x=30，
∴∠BOD=30°，
∴∠AOD=180°﹣∠BOD=150°．
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